Moore-Smith convergence in general topology. (Q5922783)

Gleichwertigkeit der durch den Limesbegriff und der durch den Umgebungsbegriff erklärten allgemeinen topologischen Räume erreicht Verf., indem er den Begriff der Konvergenz im \textit{Moore-Smith}schen Sinn (\textit{E. H. Moore, H. L. Smith}, Amer. J. Math. 44 (1922), 102-121; F. d. M. 48, 1254 (JFM 48.1254.*)) verallgemeinert: An Stelle der (abzählbaren) Punktfolge tritt der umfassende Begriff der \textit{gerichteten Punktmenge} (``directed set''); so heißt eine Menge von Punkten \(x_\alpha\) wenn \(\alpha\) eine Indexmenge (beliebiger Mächtigkeit) durchläuft, in welcher eine Ordnungsbeziehung \(\alpha' >\alpha\) (\(\alpha'\) ``nach'' \(\alpha\)) erklärt ist mit den Axiomen: (1) Entweder \(\alpha_1 > \alpha_2\), oder nicht; (2) Aus \(\alpha''> \alpha'\), \(\alpha' > \alpha\) folgt \(\alpha'' > \alpha\); (3) Zu \(\alpha_1,\alpha_2\) gibt es ein \(\alpha_3\) mit \(\alpha_3 >\alpha_1,\) \(\alpha_3 > \alpha_2\). Der Begriff der Teilfolge wird ersetzt durch den der \textit{gleichgerichteten Teilmenge} (``cofinal subset'') \(\{x_\beta\}\) von \(\{x_\alpha\}\) (zu jedem \(\alpha\) läßt sich ein \(\beta > \alpha\) angeben). Anhand dieser Begriffsbildungen kann man durch geeignete Übergangsdefinitionen vom Limesraum zum Umgebungsraum, und umgekehrt, hinüberwechseln. Verf. führt eine Klassifikation der topologischen Räume nach ihrem minimalen Konvergenztyp ein; dieser ist charakterisiert durch eine gerichtete Menge \(\{\alpha\}\) mit der Eigenschaft, daß jeder Punkt der abgeschlossenen Hülle \(\overline{M}\) von \(M\) darstellbar ist als Limes einer zu einer gleichgerichteten Teilmenge von \(\{\alpha\}\) ordnungsisomorphen gerichteten Menge von Punkten aus \(M\). Die Regularität eines Raumes läßt sich durch eine einfache Konvergenzbedingung ausdrücken. Es folgen Anwendungen auf topologische Gruppen (Das Vollständigkeitsaxiom von \textit{D. van Dantzig} (Math. Ann. 107 (1932), 587-626; JFM 58.0440.*) betreffend die Gültigkeit des ersten Abzählbarkeitsaxioms erweist sich als überflüssig. Die totalbeschränkten Teilmengen eines vollständigen topologischen linearen Raumes sind bikompakt.), auf die Topologisierung von Transformationsgruppen, auf abstrakte Integration im \textit{Moore}schen Sinne, ferner auf die Topologisierung diskreter algebraischer Systeme einerseits durch Kongruenzen, andererseits durch Ordnungsbeziehungen, und auf die Vervollständigung solcher Systeme. Alte und neue Beispiele machen die Tragweite der Begriffsbildungen deutlich.