Ein Identitätssatz für Polynome. (Q5922809)

\(f(z)\) und \(g(z)\) seien zwei Polynome vom Grad \(m\); \(f_r(z)\) bzw. \(g_r(z)\) seien die Polynome, deren Nullstellen die \(r\)-ten Potenzen der Nullstellen von \(f_1(z) = f(z)\) bzw. \(g_1(z) = g(z)\) sind. Liegen die Nullstellen von \(f(z)\) sämtlich im Innern oder sämtlich im Äußern des Einheitskreises und ist für \(r = 1, 2,\ldots \!, N\) mit genügend großem \(N\) \[ f_r(1)=g_r(1), \] so ist \[ f(z) \equiv g(z). \] Den Beweis dieses Satzes, der von \textit{Hasse} bei Untersuchungen über Kongruenzzetafunktionen gebraucht wird, erbringt Verf. durch einen Induktionsschluß von \(m - 1\) auf \(m\) unter Benutzung eines Satzes von \textit{Borchardt} aus der Theorie der symmetrischen Funktionen. Ferner wird gezeigt: Wenn \(a\) die Maximalanzahl von absolut gleichen unter den Nullstellen von \(f(z)\) ist, so genügt es, \[ N \geqq 2^{a-1} \, \left( 2^{m+1}-3 \right) \] zu wählen.