On the regular representations of algebras. (Q5922833)

\(A\) sei eine Algebra mit Einselement über einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper; \(\mathfrak R\) und \(\mathfrak S\) seien die regulären Darstellungen, die durch Rechts- bzw. Linksmultiplikation der Spalte der \(n\) Basiselemente mit den Elementen von \(A\) erhalten werden. Sind dann \(\mathfrak U_\varkappa \) bzw. \(\mathfrak V_\lambda \) (\(\varkappa = 1\),\dots, \(k\); \(\lambda = 1\),\dots, l) die wesentlich verschiedenen unzerfällbaren Bestandteile von \(\mathfrak R\) bzw. \(\mathfrak S\), \(\mathfrak F_\mu (\mu =1,\dots,m)\) die wesentlich verschiedenen irreduziblen Darstellungen von \(A\), so lassen sich die \(\mathfrak U_\varkappa \), \(\mathfrak V_\lambda \) und \(\mathfrak F_\mu \) so anordnen, daß \(\mathfrak F_\lambda \) der erste irreduzible Bestandteil von \(\mathfrak V_\lambda \) und der letzte irreduzible Bestandteil von \(\mathfrak U_\lambda \) ist, und die hierdurch gegebene Zuordnung der \(\mathfrak F_\lambda \) zu den \(\mathfrak V_\lambda \) und \(\mathfrak U_\lambda \) ist jeweils eineindeutig (insbesondere ist \(k = l = m\)). Ist \(A\) eine \textit{Frobenius}-Algebra, d. h. sind \(\mathfrak R\) und \(\mathfrak S\) äquivalent, \(\mathfrak R\sim\mathfrak S\), oder, was dasselbe ist, enthält nicht jede Hyperebene der als \(n\)-dimensionaler Vektorraum aufgefaßten Algebra ein Rechtsideal, so ist die Gesamtheit der \(\mathfrak U\) mit der Gesamtheit der \(\mathfrak V\) bis auf Äquivalenz identisch, aber in der oben festgelegten Ordnung ist nicht notwendig \(\mathfrak U_\lambda \sim\mathfrak V_\lambda \), und für die Vielfachheit \(c_{\varkappa \lambda }\) der Darstellung \(\mathfrak F_\varkappa \) als irreduzibler Bestandteil von \(\mathfrak V_\lambda \) (für die noch mehrere Definitionen angegeben werden) gilt im allgemeinen nicht \(c_{\varkappa \lambda }=c_{\lambda \varkappa }\). Die Verf. nennen \(A\) symmetrisch, wenn in \(A\) eine Hyperebene existiert, die alle Elemente \(\alpha \beta -\beta \alpha \), aber kein Rechtsideal enthält (dazu gehören insbesondere die halbeinfachen Algebren und die Gruppenringe endlicher Gruppen). \(A\) ist dann sicher eine \textit{Frobenius}-Algebra, und es ist \(\mathfrak U_\lambda \sim\mathfrak V_\lambda \) und \(c_{\varkappa \lambda }=c_{\lambda \varkappa }\). Alle Ergebnisse werden ohne Beweis mitgeteilt.