On a theorem of Paley and Wiener. (Q5922879)

Die konjugierte Funktion \(g(x)\) einer periodischen integrablen Funktion \(f(x)\) ist nicht notwendig integrabel, auch dann nicht, wenn \(f(x)\) im Grundintervall monoton ist. Nach \textit{Paley} und \textit{Wiener} (Trans. Amer. math. Soc. 35 (1933), 348-355; JFM 59.0421.*) ist jedoch \(g(x)\) integrabel, wenn \(f(x)\) monoton und ungerade ist. Verf. gibt einen etwas allgemeineren Satz, der auf das Intervall \((-\infty, +\infty)\) zugeschnitten lautet: Gilt \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|dx <\infty, \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |x\, df(x)| <\infty, \] so ist \[ g(x) = -\dfrac{1}{\pi x}\int\limits_{-x}^{+x} f(t)\, dt + h(x) \;\text{ mit } \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |h(x)|\, dx <\infty. \] Es werden Spezialfälle dieses Satzes besprochen und insbesondere wird seine Beziehung zu dem genannten \textit{Paley-Wiener}schen Satze erörtert.