Sur quelques propriétés des fonctions univalentes. (Q5922896)

Mit Hilfe der von \textit{Lavrentieff} und anderen wiederholt angewendeten, auf \textit{Löwner} zurückgehenden Methode, eine konforme Abbildung durch Superposition von Schlitzabbildungen zu erhalten, die sich von der Identität beliebig wenig unterscheiden (vgl. \textit{Lavrentieff}, Rec. math., Moscou, 41 (1934), 157-165; \textit{Golusin}, \textit{Basilewitsch}, Rec. math., Moscou, (2) 1; 127-135, 283-292, 293-296; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1030; \(62_{\text{I}}\), 373) wird zunächst der folgende Hilfssatz bewiesen: Werden aus \(|\,z\,|\leqq 1\) zwei in \(\mathfrak I(z)\leqq 0\) liegende punktfremde Kontinuen entfernt, die nicht \(z = 0\), dagegen bzw. \(z = - 1\) und \(z=1\) enthalten, so geht bei der Abbildung \(w=f(z)\) mit \(f(0) = 0\) des entstandenen Bereichs auf \(|\,w\,|\leqq 1\) der obere Halbkreis von \(|\,z\,|=1\) in einen längeren Bogen über als der untere. Mit Hilfe dieses Satzes wird z. B. bewiesen: Wird ein Gebiet \(G\) der \(z\)-Ebene, das \(z=0\) enthält, durch \(w=f(z)\) mit \(f(0) = 0\) auf \(|\,w\,|<1\) abgebildet, so geht jeder Kreis, der \(z=0\) enthält und in \(G\) enthalten ist, in ein in bezug auf \(w = 0\) sternförmiges Gebiet über. Ferner wird mittels des genannten Hilfssatzes unter Bezugnahme auf eine frühere Arbeit von \textit{Lavrentieff} (Trav. Inst. Stekloff 5 (1934), 129-245; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1026) eine \textit{Szegö}sche Vermutung bewiesen, für die früher \textit{Rengel} einen Beweis gegeben hat (Schr. math. Sem. Inst. angew. Math. Univ. Berlin 1 (1933), 140-162; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 351), nicht \textit{Grunsky}, wie in der Fußnote 1, S. 323 irrtümlicherweise steht.