Einige Sätze über Matrizen. (Q5922948)

Über Matrizen der Determinante 1 und der Spur Null werden folgende Sätze be wiesen. Unter dem multiplikativen oder \(m\)-Kommutator der beiden regulären Matrizen \(A\) und \(B\) verstehe man die Matrix \(ABA^{-1} B^{-1}\); entsprechend sei ein additiver oder \(a\)-Kommutator durch \(AB - BA\) definiert. Dann gilt: 1) Jede Matrix der Determinante 1, deren Elemente einem algebraisch abgeschlossenen Körper entnommen sind, läßt sich in diesem Körper als \(m\)-Kommutator zweier Matrizen schreiben. 2) Ist der Körper reell abgeschlossen, so läßt sich darin jede Matrix der Determinante 1 als Produkt zweier \(m\)-Kommutatoren darstellen. 3) In einem beliebigen Körper der Charakteristik Null läßt sich jede Matrix der Spur Null als \(a\)-Kommutator zweier Matrizen darstellen. Ein gruppentheoretisches Analogon von (2) wurde vom Ref. bewiesen (vgl. \textit{K. Schröder}, Schr. math. Sem. Inst. angew. Math. Univ. Berlin 2 (1934), 111-149; Deutsche Math. 4 (1939), 201-225; JFM 60.0361.*; 65). Beim Beweise von (3) wird der Hilfssatz benutzt, daß eine Matrix der Spur Null einer Matrix ähnlich ist, deren Diagonalelemente sämtlich verschwinden.