On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems. (Q5923012)

Hat man ein lineares konservatives dynamisches System von \(m\) Freiheitsgraden, so heißt das Differentialgleichungssystem \[ B\frac{dX}{dt}=A \tag{*} \] kanonisch, wenn \[ B=\left(\begin{matrix}\l \;&\\ O & -E_m\\ E_m & O\end{matrix}\right) \] (\(E_m = m\)-dimensionale Einheitsmatrix) und \(A\) eine symmetrische Matrix ist. \(X\) ist hierbei die einspaltige Matrix der Elemente \[ (x_1,\ldots,x_{2m})= (q_1,\ldots,q_m,p_1,\ldots,p_m). \] Die Matrix \(P\) heißt eine \textit{Hamilton}sche Matrix, wenn die Transformation \[ X= PY \] das System (*) wieder in ein kanonisches System transformiert. Mit einem Satz von \textit{A. Wintner} (Ann. Mat. pur. appl. (4) 13 (1934), 105-112; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1338) über derartige Matrizen wird für das System (*) eine Normalform angegeben. (III 2.)