Convexity properties of generalized mean value functions. (Q5923114)

\(x_1, \ldots \!, x_n\) seien positiv reell, \(t\) beliebig reell; Verf. untersucht die vier Mittel: \[ \varphi \,(t)= \left( \frac{x_1^t+ \cdots +x_n^t}{n} \right)^{\frac{1}{t}}, \quad \omega \,(t)= \left( \frac{c_1 \,x_1^t+ \cdots +c_n \,x_n^t} {c_1+ \cdots +c_n} \right)^{\frac{1}{t}}, \quad (c_{\nu} \geqq 0) \] \[ \theta \,(t)= \left\{ \int\limits_{0}^{1} x^t \, dx \right\}^{\frac{1}{t}}, \quad \varPhi \,(t)= \left\{ \int\limits_{0}^{\infty} x^t \, d \psi \,(x) \right\}^{\frac{1}{t}}, \] worin \(\psi \,(x)\) eine im \textit{Riemann-Stieltjes}schen Sinne integrable, nicht abnehmende Funktion mit \(\psi \,(\infty)-\psi \,(0)=1\) bedeutet. Als Funktionen von \(t\) sind diese vier Ausdrücke bekanntlich monoton steigend, und \(\varphi \,(t)\), \(\omega \,(t)\) besitzen je zwei horizontale Asymptoten (\textit{N. Norris}, Ann. math. Statist., Ann Arbor, 6 (1935), 27-29; F.~d.~M. 61\(_{\text{II}}\), 1088). Hier untersucht Verf. diese Funktionen auf Konvexität, d. h. ihre Wendepunkte, und muß feststellen, daß 1) \(\varphi \,(t)\) und \(\omega \,(t)\) immer einen Wendepunkt besitzen, der auch von \(t=0\) verschieden sein kann, 2) es Beispiele von Belegungen \(\psi \,(x)\) gibt, so daß \(\varPhi \,(t)\) keinen Wendepunkt aufweist.