Postulates for special types of groups. (Q5923156)

Eine Untersuchung darüber, wie weit sich die vom Verf. früher (Bull. Amer. math. Soc. 40 (1934), 698-701; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 79) angegebenen drei Gruppenpostulate vereinfachen lassen, wenn man sich auf endliche oder abelsche Gruppen beschränkt. Das Hauptergebnis sind die beiden folgenden Axiomensysteme: Für gewisse Elementepaare \(a\), \(b\) aus einem System \(G\) sei eindeutig ein Element aus \(G\) als Produkt \(ab\) definiert. Es gelte: (1) Sind \(ab\), \(bc\), \(a(bc)\), \((ab)c\) definiert, so ist \(a(bc) = (ab)c\). (2) Zu beliebigen \(a\), \(b\) gibt es \(x\) so, daß \(ax\) definiert und gleich \(b\) ist. (3) Es gibt ein \(g\) so, daß für alle \(b\) die Gleichung \(yg = b\) lösbar ist in dem unter (2) erläuterten Sinn. (4) Die Anzahl der Elemente von \(G\) ist endlich. \noindent Dann ist das Produkt für je zwei Elemente definiert und \(G\) eine endliche Gruppe. Abelsche Gruppen sind gekennzeichnet durch (1) in Verbindung mit (5) Zu \(a\), \(b\) gibt es \(x\) so, daß \(ax\) und \(xa\) definiert und gleich \(b\) sind.