On the zeros of certain Dirichlet series. (Q5923195)

Es wird bewiesen, daß die Funktion \[ \zeta(s,a) = \sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(n+a)^s} \qquad (0<a\leqq 1; \;s=\sigma + it) \] für rationale \(a\), mit Ausnahme von \(a = 1\) und \(a=\tfrac{1}{2}\), unendlich viele Nullstellen in der Halbebene \(\sigma > 1\) hat. Dasselbe gilt auch für transzendente \(a\). Weiter beweisen die Verf., daß auch die \textit{Epstein}sche Zetafunktion \[ \sum\limits_{_{\substack{ x,y=-\infty \\ x,y\neq 0,0}}}^{+\infty} (ax^2 + bxy + cy^2)^{-s} \] (\(a, b, c\) ganz) unendlich viele Nullstellen in der Halbebene \(\sigma >1\) hat, falls die Anzahl \(h(d)\) der Klassen quadratischer Formen mit der Diskriminante \(d = b^2 - 4ac\) gerade ist. Den (schwierigeren) Beweis desselben Satzes für ungerades \(h(d)\neq 1\) werden die Verf. in einer späteren Abhandlung bringen. (IV 4 D.)