On Waring's problem with polynomial summands. (Q5923201)

Für die Anzahl \(r (n)\) der Lösungen der diophantischen Gleichung \[ n=P(h_1) +\cdots + P(h_s)\qquad (h_i\geqq0), \] wo \[ P (h) =\alpha_0h^k + \alpha_1h^{k-1}+\cdots+\alpha_k\qquad (k\geqq3;\alpha_0 > 0) \] ein ganzwertiges Polynom ist, wird unter der Voraussetzung \[ s\geqq K(k-2)+5\qquad(K=2^{k-1}) \] die folgende Abschätzung bewiesen: Allgemein entstehe \(q^*\) aus \(q\) dadurch, daß jeder Primteiler von \(q\) so oft als Faktor zu \(q\) hinzugefügt wird, wie er im ``größten gemeinsamen Teiler'' der Brüche \(\alpha_0\),\dots, \(\alpha_k\) aufgeht, wobei negative Exponenten zuzulassen sind. Für jede primitive \(q\)-te Einheitswurzel \(\varrho\) sei \[ S_\varrho={\sum\limits_{z=1}^{q^*}}\varrho^{P(z)}; \] es sei \[ \mathfrak S_n={\sum\limits_{q=1}^{\infty}}{q^*}^{-s} {\sum\limits_{\varrho}}S_\varrho^s\varrho^{-n}, \] wo die innere Summe über die primitiven \(q\)-ten Einheitswurzeln läuft; es sei \(a =\dfrac1k\). Dann ist für jedes \(\varepsilon > 0\) \[ \left|r(n)-\alpha_0^{-sa}\frac{P^s(1+a)}{P(sa)}\mathfrak S_nn^{sa-1}\right|< Cn^{sa-1-\tfrac aK+\varepsilon}, \] wo die Konstante \(C > 0\) höchstens von \(P\), \(s\) und \(\varepsilon\) abhängt. Der Beweis arbeitet mit bekannten Mitteln aus der Theorie des Sonderfalls ganzzahliger Polynome \(P (h)\), ins\-besondere mit der \textit{Farey}zerschneidung.