Eine endliche minimale Pappus-Pascalsche Geometrie. Die Erfüllbarkeit der Axiome \(V_1\) und \(V_2\) in einem Veblensystem. (Q5923256)

Verf. setzt hier die Untersuchungen über endliche Geometrien, die er in den beiden vorstehend besprochenen Arbeiten begonnen hat, fort; er fragt jetzt nach einer ``vollständigen minimalen endlichen \textit{Pappus-Pascal}schen Geometrie'', d. h. nach einer ebenen endlichen Geometrie in Form eines \textit{Veblen}systems, das folgende drei Eigenschaften besitzt: (1) Die endliche Geometrie muß für mindestens ein Paar von Geraden, deren jede mindestens drei Punkte enthält, die Aussage des \textit{Pappus-Pascal}schen Satzes enthalten; (2) in dieser Geometrie müssen für mindestens ein \textit{Pappus-Pascal}sches Sechseck die Aussagen der Vertauschungsaxiome \(V_1\) und \(V_2\) (vgl. dazu die in F.~d.~M. 61\(_{\text{I}}\), 595-596 besprochenen Arbeiten des Verf: S. B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-nat. Kl. 1934, Nr. 16; 1935, Nr. 5; Deutsche Math. 1 (1936), 165-174) nachweisbar sein; (3) die Geometrie muß auch den vom Verf. in seiner Doktorschrift (1932; F.~d.~M. 58\(_{\text{I}}\), 598-600) als ``perspektiven \textit{Pappus-Pascal}schen Satz'' bezeichneten Sonderfall des \textit{Pappus-Pascal}schen Satzes enthalten. -- Überdies soll das diesen drei Bedingungen genügende \textit{Veblen}system mit einer möglichst kleinen Anzahl von Elementen auskommen. Verf. zeigt nun hier, daß das Veblensystem \(\mathfrak{S}\) \((21 \, | \, 2 \, | \, 5)\) das Geforderte leistet; beim Beweise macht er nur von den drei Axiomen \((\mathfrak{E})\), (A 1*), (A 2*) der vorstehend besprochenen Arbeit Gebrauch. In einem Anhang macht Verf. noch eine Bemerkung zum ersten \textit{Fano}schen Axiom (vgl. das vorletzte Referat): In der vorstehend besprochenen Arbeit ergibt sich die Gültigkeit der Aussage dieses Axioms in dem \textit{Veblen}system \(\mathfrak{S}\) \((13 \, | \, 2 \, | \, 4)\); in dem hier behandelten höheren \textit{Veblen}system \(\mathfrak{S}\) \((51 \, | \, 2 \, | \, 5)\) ist diese Aussage dagegen nicht beweisbar.