On the combination of topologies. (Q5923264)

Sind \(\varrho_1\) und \(\varrho_2\) zwei Abstandsfunktionen (im Sinne von \textit{Fréchet}) desselben Punktraumes, so bezeichne \(\varrho_1\subset\varrho_2\) (in Worten: \(\varrho_2\) enthält \(\varrho_1\)), daß \(\varrho_1(x, y)\leqq\varrho_2(x, y)\) für alle \((x, y)\) besteht. Es werden ferner für die Abstandsfunktionen zwei Operationen \(\varrho_1\cup\varrho_2\) und \(\varrho_1\cap\varrho_2\) definiert, die entsprechend vom Verf. ``join'' und ``meet'' genannt werden. Die Definitionen lauten: \[ \varrho_1\cup\varrho_2=\operatorname{Max}[\varrho_1,\varrho_2],\quad \varrho_1\cap\varrho_2=\operatornamewithlimits{Inf} _{\substack{ x_0=x\\ x_r=y}} \sum_{i=1}^r \operatorname{Min}[\varrho_1(x_{i-1},x_i), \varrho_2(x_{i-1},x_i)]. \] \(\varrho_1\cup\varrho_2\) und \(\varrho_1\cap\varrho_2\) sind wieder Abstandsfunktionen, und es wird bewiesen, daß \(\varrho_1\cup\varrho_2\) die kleinste Abstandsfunktion ist, in welcher \(\varrho_1\), \(\varrho_2\) enthalten sind, und \(\varrho_1\cap\varrho_2\) die größte, die in den beiden \(\varrho_1\) und \(\varrho_2\) enthalten ist. Der obige Begriff wird weiter verallgemeinert auf die \(L\)-Räume von \textit{Fréchet}, auf \textit{Hausdorff}sche Räume und auf \textit{Riesz}sche Räume. Am Ende wird der Spezialfall der linearen Räume (im \textit{Banach}schen Sinne) betrachtet.