Configurations inscriptible in a plane cubic curve. (Q5923299)

Unter einer \textit{Pascal}konfiguration versteht Verf. ein Sechseck, das einem in zwei gerade Linien zerfallenden Kegelschnitt einbeschrieben ist. Die neun Punkte der Konfiguration sind die Ecken des Sechsecks und die Schnittpunkte der Paare von Gegenseiten. Die neun Geraden der Konfiguration sind die sechs Seiten des Sechsecks, die beiden Geraden, auf denen die Ecken liegen, und die \textit{Pascal}gerade. Unter Benutzung der Parameterdarstellung \(x = \wp(u)\), \(y = \wp^\prime (u)\) einer ebenen kubischen Kurve beweist Verf., daß eine doppelt unendliche Menge von \textit{Pascal}konfigurationen einer ebenen kubischen Kurve \(C_3\) einbeschrieben werden kann. Eine Gerade \(l\) schneide die \(C_3\) in drei verschiedenen reellen Punkten \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\). \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) seien die drei reellen Wendepunkte. Dann schneiden die neun Geraden \(b_i a_k\) \((i = 1, 2, 3;\;k = 1, 2, 3)\) die \(C_3\) in neun Punkten einer reellen \textit{Pascal}konfiguration, die als von \(l\) abgeleitet bezeichnet wird. Ist \(l\) die harmonische Polare von \(b_1\), so besteht die von \(l\) abgeleitete Konfiguration aus den neun rellen sextaktischen Punkten. Werden die Punkte einer nicht sextaktischen einbeschriebenen reellen \textit{Pascal}konfiguration von einem reellen Wendepunkt auf \(C_3\) projiziert, so erhält man die ``konjugierte'' \textit{Pascal}konfiguration. Die sextaktische Konfiguration ist sich selbst konjugiert. Von zwei konjugierten \textit{Pascal}konfigurationen ist jede die abgeleitete Konfiguration von jeder Geraden der anderen. In jeder \textit{Pascal}konfiguration gibt es drei Punkttripel, die die Ecken von drei Dreiecken bilden. Ist \(K\) die reelle einbeschriebene sextaktische Konfiguration, so sind die in ihr enthaltenen Dreiecke paarweise perspektiv bezüglich einer und derselben Achse, nämlich des Ortes der drei reellen Wendepunkte, und diese sind die Schnittpunkte der entsprechenden Seiten der Dreiecke. Nimmt man diese drei Punkte zu der Konfiguration \(K\) hinzu, so entsteht eine der \(C_3\) einbeschriebene Konfiguration \((12_4, 16_3)\). Beschränkt man sich nicht auf reelle Punkte, so ergibt sich endlich: Die 27 sextaktischen Punkte und die neun Wendepunkte sind die Punkte einer der \(C_3\) einbeschriebenen Konfiguration \((36_7, 84_3)\). \ (V 5 B.)