A special net of quadrics. (Q5923300)

Nicht jedes Netz von Flächen zweiter Ordnung kann als Netz der Polarflächen der Punkte einer Ebene bezüglich einer Fläche dritter Ordnung gewonnen werden. Das zuletzt genannte Netz besitzt vielmehr ausgezeichnete Eigenschaften, die von \textit{F. Schur} (Math. Ann. 18 (1881), 23-27; F. d. M. 13, 490 (JFM 13.0490.*)-492), \textit{E. Toeplitz} (Math. Ann. 11 (1877), 434-463; F. d. M. 9, 549-550) und \textit{A. C. Dixon} (Proc. London math. Soc. (2) 7 (1909), 150-156; F. d. M. 40, 698 (JFM 40.0698.*)) angegeben worden sind. Mit einem solchen Netz ist eine einzige Raumkurve dritter Ordnung \(\gamma\) invariant verbunden, und umgekehrt ist das Netz durch ein lineares System \(g\frac 15\) von Punktgruppen auf \(\gamma\) (``Involution \(J\)'') eindeutig definiert: Die Schmiegungsebenen in den Punkten einer Punktgruppe bestimmen jedesmal ein Pentaeder, und das Netz wird dadurch charakterisiert, daß die \(\infty^1\) in dieser Weise entstehenden Pentaeder derart selbstkonjugiert bezüglich aller Flächen des Netzes sind, daß der Schnittpunkt von drei Ebenen eines Pentaeders konjugiert zu allen Punkten der Schnittlinie der beiden übrigen Ebenen ist. Die \textit{Jacobis}che Kurve des Netzes ist der Ort der Eckpunkte der Pentaeder. Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist nun die mehrdimensionale Verallgemeinerung dieser Überlegungen. Im \(R_n\) wird eine rationale Normalkurve \(n\)-ter Ordnung \(C\) und auf ihr ein lineares Punktgruppensystem \(g_{n+2}^1\) (``Involution \(J\)'') zugrunde gelegt. Daraus läßt sich ein Netz von \(M_{n-1}^2\), auf dieselbe Weise ableiten wie das Netz der Polarflächen zweiter Ordnung aus der Raumkurve dritter Ordnung \(\gamma\) und der auf ihr erklärten \(g_5^1\). Ein \(M_{n-1}^2\)-Netz muß \(\frac 12(n^2 + n -10)\) Bedingungen genügen, um ein spezielles Netz der hier betrachteten Art zu sein. Die Ecken der \((n+2)\)-eder, die von den Schmiegungs-\(R_{n-1}\) der rationalen Raumkurve \(C\) in den Punkten einer Gruppe von \(g_{n+2}^1\) gebildet werden, erfüllen eine Kurve \(\vartheta\) der Ordnung \(\frac 12n(n+1)\), die \textit{Jacobi}sche Kurve des Netzes. Diese Kurve hat \(\infty^1\) Trisekanten, \(\infty^1\) Ebenen, die sie in sechs Punkten eines vollständigen Vierseits schneiden, \(\infty^1\) Räume, die in den zehn Eckpunkten eines Pentaeders schneiden usw. Die Kurve \(C\) kann (als binäres Gebiet) auf einen Kegelschnitt \(\gamma\) abgebildet werden. Der Involution \(J\) von \(C\) entspricht dabei eine Involution \(j\) auf \(\gamma\). Nun ist jeder Punkt von \(\vartheta\) der Schnittpunkt von \(n\) Schmiegungs-\(R_{n-1}\) von \(C\), die zu \(n\) Punkten einer Punktgruppe von \(J\) gehören. Den beiden übrigen Punkten der Punktgruppe entsprechen auf \(\gamma\) zwei Punkte. Ihre Tangenten schneiden sich in einem Punkte der Ebene, der als Bildpunkt des entsprechenden Punktes von \(\vartheta\) gelten kann. So wird \(\vartheta\) auf eine ebene Kurve \(\zeta\) der Ordnung \(n + 1\) abgebildet, die im Zusammenhang mit \(\vartheta\) untersucht wird. Der Verf. findet dabei \(\infty^1\) \textit{Kontaktkurven} \(n\)-ter Ordnung von \(\zeta\), d. h. Kurven, die \(\zeta\) überall berühren, wo sie \(\zeta\) treffen. Die \(\frac 12n(n+1)\) Berührungspunkte einer Kontaktkurve mit \(\zeta\) entsprechen auf \(\vartheta\) den \(\frac 12n(n+1)\) Punkten, in denen \(\vartheta\) von einem Schmiegungs-\(R_{n-1}\) von \(C\) geschnitten wird. Die mit der Figur invariant verbundenen Torsen \(D\) werden folgendermaßen erklärt: Von einem der selbstkonjugierten (\(n+ 2)\)-eder wird der \(n - s\) Seitenräumen \(R_{n-1}\) gemeinsame \(R_s\) und der den \(s + 2\) übrigen Seitenräumen \(R_{n-1}\) gemeinsame \(R_{n-s-2}\) durch einen eindeutig bestimmten \(R_{n-1}\) verbunden. In dieser Weise gehören zu jeder Punktgruppe von \(J\) eine endliche Anzahl von \(R_{n-1}\), und diese bestimmen eine Torse, die mit \(D_{s+1}\) oder \(D_{n-s-1}\) bezeichnet werden kann. Der Verf. berechnet die Klasse \(d_{s+1}\) der Torse \(D_{s+1}\) und findet im allgemeinen Falle: \[ d_{s+1} = \binom{n+1}{s+1}\frac{n(2s+3)-2(s+1)^2}{s+2}, \] im Sonderfalle \(n = 2p\), \(s = p - 1\): \[ d_p= p\binom{2p+1}p. \] Die Mannigfaltigkeiten \(R_{p+1}\) werden von den Sekanten-\(R_p\) von \(\vartheta\) erzeugt. Der Verf. bestimmt die Ordnung \(N_{p+1}\) von \(R_{p+r}\) Dabei ergibt sich, daß \(2n(n+1)\) Trisekanten von \(\vartheta\) existieren, die zugleich Tangenten von \(\vartheta\) sind. Diese sind auf \(2n + 2\) Gruppen verteilt. \(n\) zusammengehörige Trisekanten schneiden sich in einem Punkte von \(\vartheta\). Unter Benutzung dieser Tatsache ergibt sich die Ordnung der von den Trisekanten von \(\vartheta\) erzeugten Linienfläche zu \(N_2= \frac 13n(n^2-1)\). Vollständige Induktion liefert dann: \(N_p=p \binom{n+1}{p+1}\), insbesondere also \(N_{n-1} = n^2-1\). Dann wird das Geschlecht der Mannigfaltigkeiten \(R\) und \(D_{p+1}\) ermittelt. Schließlich werden die Angaben für die einfachsten Fälle \(n = 3\), 4, 5 spezialisiert. Der Fall \(n = 4\) ist vom Verf. überdies in einer besonderen Abhandlung (folgendes Referat) behandelt worden. (V 5 B, E.)