Summation of multiple Fourier series by spherical means. (Q5923342)

Es sei \(x=(x_1,\dots,x_k)\) ein Punkt des \(k\)-dimensionalen euklidischen Raumes und \(f(x)\) eine Funktion der \textit{Lebesgue}-Klasse \(L\) mit der Periode \(2\pi \) in jeder der \(k\) Variablen. Weiter sei \[ f(x)\sim\textstyle\sum a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)} \] ihre \textit{Fourier}-Reihe. Es werden keine Quaderpartialsummen \[ \textstyle\sum\limits_{-N_1}^{N_1}\cdots\sum\limits_{-N_k}^{N_k} a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)}, \] sondern Kugelpartialsummen \[ S_R(x)=\textstyle\sum\limits_{\nu \leqq R}a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)}\qquad(\nu ^2=n_1^2+\dots +n_k^2) \] untersucht. Um die Reihe zu summieren, führt man eine Summierungsfunktion \(\varPhi (t)\). ein, definiert für \(0\leqq t<\infty \) mit \(\varPhi (0)=1\) und bildet allgemeiner statt der \(S_{R}\) folgende ``Partialsummen'': \[ S_R^\varPhi (x)=\textstyle\sum\varPhi \,\biggl(\displaystyle\frac{\nu }{R}\biggr)a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)}. \] Diese \(S_R^\varPhi \) haben vor den Quaderpartialsummen den Vorteil, daß man für sie meist eine Integraldarstellung folgender Art finden kann: \[ S_R^\varPhi (x)=R\textstyle\int\limits_{0}^{\infty }f_x(t)\,H_\varPhi (tR)\,dt\,. \] Darin hängt \(H\) nur von \(\varPhi \) ab und kann als Integral angegeben werden. Das \(f(x)\) geht nur ein in \[ f_x(t)=\biggl(\frac{1}{2\pi }\biggr)^{\tfrac{k}{2}}\int\limits_{0}f(x_1+t\xi _1,\dots, x_k+t\xi _k)\,d\sigma _\xi . \] Dabei sind die (\(\xi _1\),\dots, \(\xi_k\)) die Punkte der Oberfläche der Einheitskugel mit dem Mittelpunkt \(x\) und \(d\sigma _\xi \) ihr Oberflächenelement. Für \(k=1\) sei \(f_x(t) = f(x+t)+f(x-t)\). Wenn die Formel für \(S_R^\varPhi (x)\) gilt, so hängt die Konvergenz der \(S_R^\varPhi \) an einer Stelle \(x\) offenbar nur von dem Verhalten von \(f_x(t)\) für \(0\leqq t<\infty \) ab. Wenn \(\varPhi (t)\) genügend viele und im Unendlichen genügend kleine Ableitungen hat, dann hängt das Konvergenzverhalten der \(S_R^\varPhi \) nur ab vom Verhalten von \(f_x(t)\) für \(0\leqq t<t_0\) mit beliebig kleinem \(t_{0}\). (Bei ``Quadersummation'', d. h. etwa für Partialsummen der folgenden Art: \[ \sigma _R^\varPhi (x)\sim\textstyle\sum \varPhi \biggl(\displaystyle\frac{|\,n_1\,|}{R}\biggr)\cdots\varPhi \biggl(\frac{|\,n_k\,|}{R}\biggr)a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)} \] kann man zeigen, daß Entsprechendes schon z. B. für \(\varPhi (t)=e^{-t}\) nicht gilt.) Setzt man \(f_x(t)\) in \(t = 0\) als stetig voraus, so kann man zeigen, daß die \(S_R^\varPhi (x)\) im wesentlichen gegen \(f_x(0)\) konvergieren. Alle Resultate gelten auch, wie gezeigt wird, für \textit{Stepanoff}sche fastperiodische Funktionen. Daraus kann man entnehmen, weshalb unter den Summabilitätsbedingungen keine vorkommen, die irgendwelche Richtungen im Variablenraum auszeichnen. Besonders untersucht wird der spezielle Fall \(\varPhi (t)=(1-t^2)^\delta \) für \(0\leqq t<1\) und \(= 0\) sonst (\textit{Riesz}-Summation der Ordnung \(\delta \)). Für \(\delta >\dfrac{K-1}{2}\) ist das Konvergenzverhalten durch das Lokalverhalten von \(f(x)\) charakterisiert. Das ist sicher falsch für \(\delta <\dfrac{k-1}{2}\) und auch für \(\delta =\dfrac{k-1}{2}\), wenn \(k\geqq 2\). Für \(k=1\) und \(\delta =\dfrac{k-1}{2}=0\) hat schon \textit{Riemann} die betreffende ``Lokalisationseigenschaft'' bewiesen. Ersetzt man die \textit{Fourier}reihen durch \textit{Fourier}integrale, so bleibt diese Eigenschaft auch noch für alle \(\delta =\dfrac{k-1}{2}\) richtig. Zunächst werden in der Arbeit \textit{Fourier}integrale behandelt; denn ihre Eigenschaften sind einfacher als die der \textit{Fourier}reihen, die anschließend besprochen werden. Die hergeleiteten Summationssätze werden dann im letzten Teil der Arbeit zu Konvergenzuntersuchungen verwandt. (IV 3 E.)