A particular sequence of step functions. (Q5923343)

\(X\) und \(Y\) seien zwei metrische Räume mit den Elementen \(x\) bzw. \(y\), \(\{y_i\}\) eine in \(Y\) dichte Folge und \(T_n(x)\) eine Folge von in \(X\) definierten stetigen Funktionen mit Werten aus \(Y\). Verf. beweist: Wenn für jedes \(m\) die Menge der Punkte \(x\), für die es eine unendliche Folge \(\{n_i\}\) mit \(\lim\limits_{i\to\infty} T_{n_i}(x) = y_m\) gibt, in \(X\) dicht ist, dann ist für alle \(x\) mit Ausnahme einer Menge von erster Kategorie die Folge \(T_n(x)\) in \(Y\) dicht. Durch Spezialisieren von \(X\) und \(Y\) erhält Verf. folgendes Ergebnis: Man kann eine Folge \(f_n(x)\) von nicht negativen Funktionen mit \(f_n(x) = 0\), ausgenommen eine Menge vom Maße \(\leqq \dfrac1n\), definieren, derart, daß -- abgesehen von einer Menge von erster Kategorie -- für alle Funktionen \(g(x)\), die im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrabel sind, die Folge \(\int\limits_0^x f_n(t)\, g(t)\, dt\) eine Teilfolge enthält, die fast überall gegen \(f(x)\) konvergiert, wobei \(f(x)\) eine beliebige meßbare Funktion ist. \ \ (V 2.)