Analytic functions star-like in one direction. (Q5923367)

Verf. betrachtet die Klasse \(S\) der Funktionen \(f(z) = z + \sum\limits_2^\infty a_nz^n\), welche eine der beiden folgenden Eigenschaften besitzen: (A) \(f (z)\) ist regulär für \(|z| < 1\), und es gibt ein \(\delta =\delta(f) > 0\), so daß für \(1-\delta< r < 1\) das Bild von \(|z| = r\) genau zwei reelle Punkte hat. (B) \(f(z)\) ist regulär für \(|z|\leqq 1\), und das Bild von \(|z|=1\) hat genau zwei reelle Punkte. Er zeigt, daß \(|a_n|\leqq n^2\) für jedes \(f\) aus \(S\). Für ungerades \(f\) aus S gilt \(|a_n|\leqq n\). Dasselbe, wenn \(f\) reell ist für reelles \(z\). Schließlich wird bewiesen, daß \(|a_n|\leqq n\), falls \(f\) zu \(S\) gehört und schlicht ist. Die Schranken sind stets scharf. (IV 4 H.)