Notes on linear transformations. I. (Q5923406)

In der vorliegenden Arbeit, der ersten aus einer angekündigten Reihe von Arbeiten über den gleichen Gegenstand, wird für die linearen Transformationen der Gestalt \[ K_\alpha[f]=\alpha\int\limits_{-\infty}^{+\infty}K(\alpha t)f(x+t)\,dt \qquad (\alpha>0) \] mit in \(-\infty<u<+\infty\) meßbarem, nichtnegativem und im gleichen Intervall \(L\)-integrab\-lem Kern \(K(u)\) die Frage nach den Lösungen der Gleichungen \(K_\alpha[f]=0\) und \(K_\alpha[f]=f\) behandelt sowie eine Untersuchung gewisser metrischer Eigenschaften dieser Transformationen in bestimmten metrischen Teilräumen des \(f\)-Raumes, vor allem solcher auf die Annäherung von \(f\) durch \(K_\alpha[f]\) für \(\alpha\to\infty\) bezüglicher, vorgenommen. Der \(f\)-Raum wird dabei außer durch die Forderung, daß die auftretenden Integrale durchweg als eigentliche \textit{Lebesgue}sche Integrale existieren sollen, bei den einzelnen Fragestellungen überdies noch durch besondere Bedingungen eingeschränkt, hinsichtlich deren genauer Formulierung auf die Arbeit selbst verwiesen werden muß. Unter der Voraussetzung quadratischer Integrierbarkeit von \(K(u)\) werden ferner für die angeschriebenen Transformationen Funktionalgleichungen hergeleitet. Die gewonnenen Ergebnisse werden sodann für drei spezielle, mit Hilfe dreier, auf \textit{Weierstraß, Poisson} sowie \textit{Picard} zurückgehender singulärer Integrale definierte Klassen von Transformationen, nämlich: \[ \begin{alignedat}{2} &W_\lambda[f]=(\pi\lambda)^{-\frac12}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2/\lambda}f(u+x)\,du &\qquad &\left(\lambda=\frac1{\alpha^2}\right),\tag{1}\\ &P_\lambda[f]=\frac\lambda\pi\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(u+x)}{u^2+\lambda^2}\,du &&\left(\lambda=\frac1\alpha\right),\tag{2}\\ &\varPi_\alpha[f]=\frac\alpha2\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha|u|}f(u+x)\,du,&&\tag{3} \end{alignedat} \] verifiziert und -- dank der speziellen Struktur der behandelten Kerne -wesentlich verschärft. Die hauptsächlichen Ergebnisse lauten: Die Gleichungen \(W_\lambda[f]=0\), \(P_\lambda[f]=0\) und \(\varPi_\alpha[f]=0\) haben (in dem in der Arbeit genau umschriebenen \(f\)-Raum) als einzige die triviale Lösung \(f\sim 0\). Die Gleichung \(P_\lambda[f]=f\) wird nur von \(f={}\)const, \(\varPi_\alpha[f]=f\) nur von \(f=Ax+B\) befriedigt, während sämtliche Lösungen von \(W_\lambda[f]=f\) gewisse unendliche Linearkombinationen einer abzählbaren, explizit angebbaren Funktionenbasis sind. In näher bezeichneten metrischen Teilräumen des \(f\)-Raumes wird \(f\) durch \(W_h[f]\) bzw. \(P_h[f]\) für \(h\to 0\) sowie durch \(\varPi_\alpha[f]\) für \(\alpha\to\infty\) im Sinne der betreffenden Metrik angenähert, und zwar in den beiden ersten Fällen höchstens vom ersten Grad in \(h\), im letzten Fall höchstens vom zweiten Grad in \(\alpha\), genauer: aus \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac1h\|P_h[f]-f\|=0\) folgt \(f={}\)const, aus \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac1h\|W_h[f]-f\|=0\) sowie \(\lim\limits_{\alpha\to\infty} \alpha^2\|\varPi_\alpha[f]-f\|=0\) folgt \(f=Ax+B\). Beim Beweis dieser Sätze werden einfache, von \(W_\lambda\), \(P_\lambda\) bzw. \(\varPi_\alpha\) erfüllte Funktionalgleichungen in starkem Maße herangezogen. Mit ähnlichen Methoden wird schließlich noch die durch das \textit{Dirichlet}sche Integral \[ D_\alpha[f]=\frac1\pi\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin\alpha u}uf(u+x)\,du \] vermittelte Klasse von Transformationen untersucht. Die Tatsache, daß in diesem Falle die an den Kern gestellten Bedingungen nicht erfüllt sind, hat verschiedene Schwierigkeiten und damit letzten Endes weitaus weniger abgeschlossene und einfache Ergebnisse zur Folge als in den zuerst besprochenen Fällen. So können z.~B. die Lösungen von \(D_\alpha[f]=0\) und \(D_\alpha[f]=f\) nur mehr im Bereich der quadratisch \(L\)-integrierbaren Funktionen \(f(x)\), und zwar in Gestalt von Integraldarstellungen, explizit angegeben werden.