On some integral equations. II, III. (Q5923416)

\textbf{II.} \textit{Theorem} 1: Alle Funktionen \(f(x)\), für die es eine Funktion \(V(\alpha)\) von beschränkter Schwankung gibt, so daß \(f(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\alpha xi} dV(\alpha)\) ist, und die der Gleichung \[ f(x) = \tfrac{1}{2}\int\limits_{x-1}^{x+1}f(t)\, dt \tag{1} \] genügen, sind konstant. \textit{Theorem} 2 besagt das Gleiche unter der Zusatzvoraussetzung \(\int\limits_{-\infty}^\infty |\alpha dV(\alpha)| < \infty\), falls Gleichung (1) ersetzt wird durch \[ f'(x) = \int\limits_0^\infty \dfrac{e^{-t}}{t}\{f(x+t) - f(x-t)\}\, dt. \tag{2} \] \textit{Theorem} 3 behandelt eine Verallgemeinerung für die Gleichung \[ f^{(n)}(x) = \sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_{-\infty}^\infty f^{(k)}(x+t)\, d\varphi_k(t). \] \textit{Theorem} 4 endlich verallgemeinert Theorem 1 auf die Integralgleichung \[ f(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty K(x-y)f(y)\, dy. \] \textbf{III.} \ Lösung der Integralgleichung (1) unter der Zusatzbedingung \(f(x) = O(e^{g(x)})\), wo \(g(x)\) positiv, stetig und wachsend ist und \(\dfrac{g(x)}{x}\) beschränkt bleibt. -- Dgl. für die Gleichung \[ f^{(n)}(x) = \sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_a^b f^{(k)}(x+t)\, d\varphi_k(t), \] wo \(\varphi_k (t)\) (\(k = 0, 1,\ldots, n - 1\)) in \((a, b)\) von beschränkter Schwankung sind, unter der Zusatzbedingung \(f^{(k)}(x) = O(e^{g(x)})\) \ \((k= 0,1,\ldots,n -1)\). (Vgl. dazu die Note I, Japanese J. Math. 12 (1935), 81-94; JFM 61.0427.*).