Generalized integrals and differential equations. (Q5923418)

(1) Zunächst wird folgender Integralbegriff erklärt: Es seien die reellen Funktionen \(a(f,x,g_1,\ldots,g_n)\) und \(b(f, x, g_1,\ldots, g_n)\) definiert in einem abgeschlossenen Intervall des Raumes der reellen Veränderlichen \(f, x, g_1,\ldots, g_n\) und dort mit stetigen partiellen Ableitungen nach jeder der Veränderlichen versehen. Ferner sei \(f(x)\) darstellbar als Limes stetig differenzierbarer Funktionen \(f_k(x)\), \(k=1, 2,\ldots,\) wo \(|f_k(x) - f(x_0)| < F\), \(|f(x) - f(x_0)|< F\); weiter seien die \(g_\nu (x)\), \(\nu = 1,\ldots,n\), stetig und von beschränkter (Total-)Variation (\(x_0\leqq x\leqq x_1\), \(F\) Konstante). Dann existiert der mit \[ \int\limits_{x_0}^x a\left(f(x), x, g_1(x),\ldots, g_n(x)\right)\, db\left(f(x), x, g_1(x),\ldots, g_n(x)\right) \] bezeichnete \[ \lim\limits_{k\to\infty} \int\limits_{x_0}^x a\left(f_k(x), x, g_1(x),\ldots, g_n(x)\right)\, db\left(f_k(x), x, g_1(x),\ldots, g_n(x)\right), \] und zwar für \textit{jede} derartige Folge \(\{f_k(x)\}\). Dieser Integralbegriff ist übrigens nicht identisch mit dem \textit{Riemann-Stieltjes}schen. (2) Es folgt die Erklärung des Begriffes einer ``gewöhnlichen Differentialgleichung'' \[ \begin{aligned} du(x) = &a_0\left(f(x),g_1(x),\ldots,g_n(x), u(x)\right)\, d\left(f(x)\right) \tag{D} \\ &+ \sum\limits_{\nu =0}^n a_\nu\left(f(x),g_1(x),\ldots,g_n(x), u(x)\right)\, dg_\nu (x) \end{aligned} \] und ihrer der ``Anfangsbedingung'' \(u(0) = 0\) genügenden ``Lösung'' \(u(x)\). Man setze nämlich voraus, daß \(g_\nu (x) = \lim\limits_{k\to\infty}g_{\nu k}(x)\), \(\nu = 1,\ldots, n\), wo die \(g_\nu (x)\) stetig und die \(g_{\nu k}(x)\) stetig differenzierbar seien in \(0\leqq x\leqq x_1\), wobei außerdem die Totalvariationen der \(g_{\nu\varrho}(x) - g_\nu (x)\) mit \(k\to\infty\) gegen Null konvergieren und die der \(g_{\nu k}(x)\) gleichmäßig beschränkt sein sollen. Die \(a_\tau (z, y_1,\ldots, y_n, u)\), \(\tau = 0, 1,\ldots, n\), sollen, unter anderem, in einem gewissen Intervall der \(y, z_1,\ldots,z_n,u\) beschränkte, stetig differenzierbare Funktionen ihrer Argumente sein, die partiellen ersten Ableitungen von \(a_0\) sollen einer \textit{Lipschitz}bedingung mit dem Exponenten 1 genügen. Es soll \(f_k(0) = 0\) sein, \(k = 1, 2,\ldots\). Nun wird sozusagen (D) aufgefaßt als Limes derjenigen gewöhnlichen Differentialgleichungen, welche bei Ersetzung von \(f, g_1,\ldots, g_n\) durch die \(f_k, g_{1k},\ldots, g_{nk}\) und \(k\to\infty\) entstehen. Mit \(k\to\infty\) konvergieren dann die der Anfangsbedingung \(u_k(0) = 0\) genügenden Lösungen dieser letzteren Differentialgleichung gegen eine (von der Wahl der \(f_n\), \(g_{\nu k}\) unabhängige) Grenzfunktion \(u(x)\), welche als Lösung \(u(x)\) von (D) mit \(u(0) = 0\) erklärt wird. (3) Ähnlich wird durch Grenzübergang der Begriff der ``Lösung'' des hyperbolischen Systems \[ \begin{alignedat}{2}{2} & \sum\limits_{\nu = 1}^n a_{i\nu}(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\dfrac{\partial\varphi_\nu}{\partial \alpha} = 0 \quad &&(i=1,\ldots,m<n; \;n\geqq 2), \\ & \sum\limits_{\nu = 1}^n a_{j\nu}(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\dfrac{\partial\varphi_\nu}{\partial \beta} = 0 \quad &&(j=m+1,\ldots,n) \end{alignedat} \] erklärt, wenn die gewissen Stetigkeits- und anderen Bedingungen genügenden Anfangswerte der \(\varphi_\nu\) längs einer Strecke auf \(\alpha = \beta\) als Funktionen der Bogenlänge vorgeschrieben sind. Die \(a_{i\nu}\), \(a_{j\nu}\) sind gewissen Differenzierbarkeitsbedingungen unterworfen. Die Anfangswerte werden jetzt wieder als Grenzwerte gewisser stetig differenzierbarer Anfangswerte dargestellt, und als ``Lösung'' wird der Limes der diesen Anfangswerten zugehörigen Lösungen erklärt. (4) Als Anwendung von (3) ergeben sich Sätze über die Konvergenz von Lösungen einer Folge elliptischer Differentialgleichungen vom \textit{Monge-Ampère}schen Typus, wobei die Koeffizienten jeder einzelnen Differentialgleichung analytische Funktionen ihrer Argumente sein sollen (die für reelle Argumente reelle Werte annehmen) und konvergente Folgen liefern. -- Zum Schlusse werden differentialgeometrische Anwendungen in Aussicht gestellt. -- Keine Beweise. (IV13,14.)