De logische grondslagen der euklidische meetkunde. (Q5923441)

Es werden zunächst geordnete Körper betrachtet, insbesondere der Körper \(H\) der total-reellen algebraischen Zahlen, die durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln entstehen, und der nicht-archimedisch geordnete Körper \(F\), der aus dem Körper der rationalen Funktionen mit rationalen Koeffizienten durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln aus Summen von Quadraten hervorgeht. Es wird dann das analytische Modell der dreidimensionalen euklidischen Geometrie über dem Körper \(R\) der reellen Zahlen angegeben und bewiesen, daß es sämtliche Axiome eines früher von dem Verf. angegebenen Axiomensystems \(\mathfrak A\) der euklidischen Geometrie erfüllt. Da statt \(R\) auch der Körper \(H\) bzw. der Körper \(F\) verwendet werden können, ist das Stetigkeitsaxiom in \(\mathfrak A\) und das archimedische Axiom von dem Restsystem unabhängig. Die Sätze über die Existenz von Schnittpunkten zwischen Kreis und Gerade sind in \(\mathfrak A\) nur mit Hilfe des Stetigkeitsaxioms beweisbar; durch die Geometrie über dem Körper aller algebraischen Zahlen wird jedoch gezeigt, daß sie auch in einer unstetigen Geometrie gelten können. Ferner wird mit Hilfe der analytischen Modelle der zwei- und der vierdimensionalen euklidischen Geometrie die Unabhängigkeit der Dimensionsaxiome in \(\mathfrak A\) nachgewiesen. Schließlich wird das \textit{Cayley-Klein}sche Modell der dreidimensionalen hyperbolischen Geometrie angegeben und bewiesen, daß es alle Axiome außer dem Parallelenaxiom erfüllt.