Note on formulas for the number of representations of an integer as a sum of \(2h\) squares. (Q5923539)

Man weiß, daß die Anzahl der Darstellungen einer willkürlichen ganzen Zahl \(n\) als Summe von \(2h\) Quadratzahlen in der Gestalt \[ \lambda\sum (-1)^{\frac{hd-h}2} \cdot d^{h-1} \] gegeben werden kann, falls \(1 \le h\le 4\) ist. Die Zahl \(\lambda\) kann dabei von dem linearen Kongruenzverhalten von \(n\) abhängen, und die Summation erstreckt sich über alle ungeraden Teiler von \(n\). Es erhebt sich die Frage, ob eine Formel der obigen Gestalt auch noch für \(h\ge 5\) gilt. Mittels der Theorie der elliptischen Funktionen wurde diese Frage von \textit{E. T. Bell} [J. Lond. Math. Soc. 4, 279--284 (1929; JFM 55.0108.01); J. Reine Angew. Math. 163, 65--70 (1930; JFM 56.0160.01)] für \(n = m\) und \(n= 2m\) bei ungeradem \(m\) und in einigen Fällen für \(n = 2^\alpha m\), \(\alpha\ge 1\) vom Verf. [Am. J. Math. 58, 536--544 (1936; JFM 62.0142.03)] in negativem Sinne beantwortet. In vorliegender Arbeit werden Teile dieser Resultate auf Grund einer ganz einfachen und elementaren Betrachtung (trivialer Satz 1) gewonnen.