On the zeros of certain Dirichlet series. (Q5923543)

Es sei \[ Q (x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \] eine positiv-definite quadratische Form mit ganzen rationalen Koeffizienten und der Diskriminante \(d = b^2 - 4ac\). Vor kurzem bewiesen die Verf. (J. London math. Soc. 11 (1936), 181-185; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 138), daß die Funktion \[ \zeta (s, Q)= \sum_{{x,\,y=-\infty\atop x,\,y\neq0,\,0\,\,}}^{+\infty} Q(x,y)^{-s}\qquad (s = \sigma + it) \] unendlich viele Nullstellen in der Halbebene \(\sigma > 1\) hat, falls die Klassenzahl \(h(d)\) gerade ist. Jetzt beweisen sie dasselbe, falls \(h (d)\) ungerade \(\neq1\) ist.