On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers. (Q5923544)

Aus Gründen, die der Wahrscheinlichkeitsrechnung entnommen sind, ist für die Differenz zweier aufeinander folgenden Primzahlen die Abschätzung \[ p_{n + 1}-p_n=O\bigl((\log p_n)^2\bigr) \] sehr wahrscheinlich. Da es nach \textit{Westzynthius} Primzahlen gibt, für die \[ p_{n+1} - p_n>c\cdot \log p_n \] ist, so interessiert vor allem die Abschätzung nach oben. Mit neuer Methode, gestützt auf die \textit{Riemann}sche Funktion \[ F(s)=\sum_{\gamma>0}e^{\varrho is} \] (\(\varrho = \beta +i\gamma\) Nullstellen von \(\xi(s)\)) und auf die \textit{Brun}sche Abschätzung \[ \pi(x + h)-\pi(x)< \frac h{\log h}, \] ergibt sich (\(\lambda\), \(\tau_0\) fest) \[ \begin{gathered} \pi(e^{\tau+\varDelta})-\pi (e^{\tau-\varDelta})> \frac{\sigma e^\tau}t \bigl(1-3\Re F(s)\bigr), \\ \varDelta = \frac{\lambda\sigma\tau}{\tau+\log\sigma};\quad \tau>\tau_0,\quad \tau\log^2\tau e^{-\tau} <\sigma<\frac1{\tau^2}. \end{gathered} \] Kann man für geeignete \(\sigma (\tau)\) bei großem \(\tau\) nun \(\Re F < \frac13\) nachweisen (das wird hier vom Verf. nicht durchgeführt), so folgt die Existenz einer Primzahl in dem entsprechenden Intervall. Man kann so frühere Resultate wiedergewinnen. Nimmt man aber die \textit{Riemann}sche Vermutung hinzu, so läßt sich \(4\pi \Re F < 1\) beweisen, woraus die Existenz einer Primzahl in \((x, x + 5\lambda \sqrt x \log x)\) folgt. Eine Verbesserung dieses Resultats für alle großen \(x\) scheint nicht ohne weiteres möglich. Dagegen lassen sich durch Abschätzung von \[ \int\limits_t^{t+1} |F(\sigma+i\tau)|^2\,d\tau \] Aussagen der folgenden Art gewinnen: \[ \text{Für } 0\leqq\alpha\leqq\tfrac12,\;\beta\geqq0;\quad h = h (x) = x^\alpha (\log x)^\beta,\quad S_{\alpha\beta} = {\textstyle\sum} (p_{n+1} p_n), \quad N_{\alpha\beta} = {\textstyle\sum} 1 \] \(\bigl(\)Summation über \(p_n \leqq x\) mit \(p_{n+1} - p_n > h (p_n)\)\(\bigr)\) gilt unter Annahme der \textit{Riemann}schen Vermutung \[ S_{\alpha\beta}(x)=O\left(\frac{x\log^3x}{h\log h}\right); \] z. B. für \(h (x) = \log^3x\): \[ S_{0\,3}(x)=O\biggl(\frac x{\mathop{\text{log}}\limits_2 x}\biggr). \] Für nur wenig Primzahlen kann also \[ p_{n + 1} - p_n > (\log p_n)^3 \] sein. Es folgt weiter, daß \[ \sum\frac{(p_{n+1} -p_n)^2}{p_n(\log p_n)^\lambda} \] konvergent ist für \(\lambda > 4\).