Functions of a complex variable. (Q5923568)

Dieses \textit{Osgood}sche Buch gibt eine gut lesbare Einführung in die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Die Art der Behandlung des dargebotenen Stoffes ist im wesentlichen die gleiche wie in dem umfassenderen Werke \textit{Osgoods}: Lehrbuch der Funktionentheorie (Bd. 1, 5. Aufl. 1928; F. d. M. 54, 326 (JFM 54.0326.*)). Zahlreiche Beispiele und Aufgaben bieten willkommenes Übungsmaterial zu den bewiesenen Ergebnissen. An den Stellen, wo die Theorie zu ergänzen und zu erweitern ist, wird auf die genannte Darstellung ``Lehrbuch der Funktionentheorie'' verwiesen. Um einen Überblick über den Umfang des behandelten Stoffes zu gewinnen, werde eine knappe Angabe des Inhaltes mitgeteilt: 1. Geschichtliche Bemerkungen, Einführung und Darstellung der komplexen Zahlen, Rechnen mit komplexen Zahlen. 2. Funktion, Grenzwert, Stetigkeit und Ableitung; Definition der analytischen Funktion; konforme Abbildung und analytische Funktionen. 3. Eigenschaften der von den elementaren Funktionen vermittelten Abbildungen; allgemeine lineare Transformation, Zusammenstellung von wichtigen Beispielen zur konformen Abbildung. 4. Begriff der \textit{Riemann}schen Fläche, entwickelt an den Beispielen \(w = \log z\), \(z^\alpha\) usw. 5. Definition des Integrals, \textit{Cauchy}scher Integralsatz und Integralformel, harmonische Funktionen, \textit{Taylor}sche Reihenentwicklung. 6. Potenzreihen, \textit{Laurent}sche Entwicklung, Residuen; Singularitäten analytischer Funktionen; Abbildung des Rechtecks auf einen Kreis. 7. Analytische Fortsetzung, einige Bemerkungen zur Theorie der elliptischen Funktionen. 8. Harmonische Funktionen und ihre Eigenschaften, Bedeutung für die konforme Abbildung; Darstellung durch die Randwerte, \textit{Green}sche Funktion; Darstellung durch Reihen, \textit{Harnack}sche Sätze, analytische Fortsetzung. 9. Beweis des \textit{Riemann}schen Abbildungssatzes für spezielle einfach zusammenhängende Gebiete unter Benützung potentialtheoretischer Hilfsmittel; Dreiecksfunktionen, \textit{Picard}scher Satz; konforme Abbildung des allgemeinsten einfach zusammenhängenden Gebietes in einen Kreis, Beweis unter Benützung des schon gelösten speziellen Abbildungsproblems. Besprechung.: A. A. Bennett, Bull. Amer. math. Soc. 44 (1938), 16-17.