A note on the degree of polynomial approximation. (Q5923572)

Gegeben seien \(\lambda\) geschlossene analytische Kurven \(C_1, C_2,\ldots, G_\lambda\), von denen jede außerhalb der anderen liegt, und es sei \(f_\varkappa(0)\) für \(\varkappa = 1, 2,\ldots,\lambda\) eine analytische Funktion der Klasse Lip \((C_\varkappa, j, \alpha)\) in dem von \(C_\varkappa\) begrenzten Gebiet \(D_\varkappa\), d. h. \(f_\varkappa\) sei regulär in \(D_\varkappa\), stetig bis zur \(j\)-ten Ableitung \(f^{(j)}_\varkappa(z)\) in \(C_\varkappa + D_\varkappa\) und erfülle die \textit{Lipschitz}bedingung \[ |f_\varkappa^{(j)}(z_2)-f_\varkappa^{(j)}(z_1)|< M|z_2-z_1|^\alpha\quad\text{mit}\quad 0<\alpha\leqq 1 \] auf \(C_\varkappa\). Verf. beweist, daß es für jedes \(n =1, 2,\ldots\) ein Polynom \[ p_n(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n \] gibt, derart daß gleichmäßig in der abgeschlossenen Menge \(S = \sum\limits_{\varkappa=1}^\lambda (D_\varkappa+ C_\varkappa)\) gilt: \[ |f(z)-p_n(z)|=O(n^{-j-\alpha}), \] wobei \(f(z) = f_\varkappa(z)\) in \(D_\varkappa + C_\varkappa\) für \(x = 1, 2,\ldots, \lambda\). Im Falle, daß \(S\) sich auf den Kreis \(|z|\leqq 1\) reduziert, folgt der Satz aus gewissen Ergebnissen von \textit{S. Bernstein} (Acad. Belgique, Cl. Sci., Mém. Coll. \(4^\circ\) (2) 4, Nr. l (1912; F. d. M. 45, 633 (JFM 45.0633.*)), S. 88-89) und \textit{D. Jackson} (The theory of approximation (1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 936), S. 1-12). Im allgemeinen Fall besteht die Beweismethode in konformer Abbildung der Gebiete \(D_\varkappa\) auf den Kreis \(|z|<1\) und des Komplementärgebiets von \(S\) auf das Gebiet \(|w| > 1\).