Sopra un problema di navigazione di Zermelo. (Q5923612)

Welchen Weg muß ein Zeppelin nehmen, um in der kürzesten Zeit von \(A\) nach \(B\) zu gelangen, wenn die Geschwindigkeitsverteilung des Windes in der Ebene vorgegeben ist? Verf. behandelt den Fall, daß die Windgeschwindigkeit (und eventuell auch die Eigengeschwindigkeit des Fahrzeugs) von der Zeit abhängt. Dieses Problem ist ein spezieller Fall des folgenden \textit{Meyer}schen Problems: Man betrachtet stetige und rektifizierbare Kurven \[ \left(x_1(s),\;x_2(s)\right),\quad 0\leqq s\leqq L,\quad {x_1'}^2+{x_2'}^2=1, \] die \(A\) und \(B\) verbinden und für die die eindeutig bestimmte Lösung \(t (s)\) der Gleichung \[ t(s)=t_0+\int\limits_0^s F\left(x_1(\sigma), x_2(\sigma), x_1'(\sigma), x_2'(\sigma), t(\sigma)\right)\,d\sigma \] existiert. Unter diesen Kurven soll eine gefunden werden, die das Funktional \(t (L)\) zum Minimum macht. \(F\) sei positiv homogen vom ersten Grad in \(x_1'\), \(x_2'\). Verf. beweist die Existenz des absoluten Minimums unter folgenden Voraussetzungen: Das zugrundegelegte Gebiet sei beschränkt, abgeschlossen und konvex und das Problem positiv definit \((F > 0)\) und regulär \(\left( F_1\equiv \dfrac{F_{x_1'x_1'}}{{x_1'}^2}>0\right)\). Damit erbringt er den ersten Existenzbeweis für das oben genannte Navigationsproblem. Es werden dann noch \textit{Hamilton}sche Funktionen für das Problem angegeben, die Differentialgleichungen (ohne Multiplikatorenmethode) in gewöhnlicher und kanonischer Gestalt aufgestellt und daraus die \textit{Zermelosche Navigationsformel} (vgl. \textit{Carathéodory}, Variationsrechnung (1935; JFM 61.0547.*), S. 380) hergeleitet.