Connections between differential geometry and topology. II: Closed surfaces. (Q5923640)

Für den ersten Teil siehe Proc. nat. Acad. Sci. USA 21 (1935), 225-227; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 787. Im vorliegenden zweiten Teil seiner Arbeit untersucht Verf. den Ort der Minimumpunkte \(m\) bezüglich eines Punktes \(A\) für den Fall der geschlossenen Flächen. Auf einer geschlossenen Fläche \(F\) ist \(m\) ein endlicher zusammenhängender Graph, dessen eindimensionale \textit{Betti}sche Zahl gleich der eindimensionalen \textit{Betti}schen Zahl mod 2 von \(F\) ist. Jeder Bogen von \(m\), der keine zu \(A\) konjugierten Punkte und in seinem Innern kerne Verzweigungspunkte des Graphen enthält, ist regulär analytisch. Schneidet man \(F\) längs \(m\) auf, so erhält man eine von den geodätischen Linien durch \(A\) einfach (mit Ausnahme von \(A\) natürlich) überdeckte zweidimensionale Zelle. Die Ordnung eines Punktes \(P\) des Graphen \(m\) ist gleich der Ordnung von \(P\) als Minimumpunkt (\(=\) Anzahl der absolut kürzesten Verbindungen von \(P\) mit \(A\)). \(r\), \(\vartheta \) seien die geodätischen Polarkoordinaten mit \(A\) als Pol, und \(\vartheta \) wachse stetig von 0 bis \(2\pi \). Ist dann \(F\) orientierbar, so wird jede Kante von \(m\) genau einmal in beiden Richtungen durchlaufen; ist \(F\) nicht orientierbar, so wird wenigstens eine Kante zweimal in gleicher Richtung durchlaufen. Waren die Flächen bisher stets als analytisch vorausgesetzt, so untersucht Verf. nun den nicht analytischen Fall. Der Ort \(m\) ist dann nur eine reguläre Kurve im Sinne der \textit{Menger}schen Kurventheorie. Die Beziehung zwischen den \textit{Betti}schen Zahlen von \(m\) und \(F\) bleiben jedoch erhalten. Zum Schluß bespricht Verf. einige Beispiele.