On the connectivity of spaces of positive curvature. (Q5923641)

Verf. untersucht im Anschluß an eine Arbeit von \textit{Myers} (Duke Math. J. 1 (1935), 39-49; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 786) Zusammenhangseigenschaften der vollständigen analytischen \textit{Riemann}schen Räume positiver Krümmung (d. h. Räume, deren \textit{Riemann}sche Krümmung in bezug auf ein jedes Flächenelement größer als eine positive Konstante ist). Die Parallelverschiebung des Vektorraumes in einem beliebigen Punkt \(P\) einer geschlossenen Kurve \(C\) längs dieser Kurve zum Ausgangspunkt \(P\) zurück bewirkt eine orthogonale Transformation \(T\) des Vektorraumes. Je nachdem die Determinante von \(T\) gleich \(+1\) oder \(-1\) ist, heißt \(C\) positiv oder negativ geschlossen. Verf. beweist nun den folgenden Satz: Jede positiv geschlossene Kurve in einem vollständigen analytischen \textit{Riemann}schen Raum \(V_{n}\) von positiver Krümmung und \textit{gerader} Dimensionszahl läßt sich auf einen Punkt zusammenziehen. Da \(V_{n}\) dann und nur dann orientierbar ist, wenn jede geschlossene Kurve positiv geschlossen ist, so folgt: Ist \(V_{n}\) überdies orientierbar, so ist \(V_{n}\) einfach zusammenhängend. Eine vom Verf. angegebene Eigenschaft der \(V_{n}\) \textit{ungerader} Dimensionszahl führt nicht auf einfache topologische Folgerungen. Es sei noch bemerkt, daß das Linienelement der \(V_{n}\) hierbei stets als positiv definit vorausgesetzt wird.