On the projective geometry of paths. (Q5923643)

Der Bahnkurvengeometrie liegt bekanntlich ein System von Differentialgleichungen \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \acute{}\;\acute{}\kern-4pt x^i+\varGamma _{jk}^i\acute x^j\,\acute x^k=0\qquad\biggl(\varGamma _{jk}^i=\varGamma _{kj}^i,\;\acute x^i=\frac{dx^i}{ds}\biggr) \hfill} \] zugrunde, dessen Lösungen die Bahnkurven definieren. Die \(\varGamma _{jk}^i\) verhalten sich bei Koordinatentransformationen wie die Komponenten eines symmetrischen affinen Zusammenhangs und sind, falls kein Parameter auf den Bahnkurven ausgezeichnet ist, bis auf Änderungen der Gestalt \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill \hat\varGamma _{jk}^i=\varGamma _{jk}^i-\psi _j\delta _k^i-\psi_k\delta_j^i\qquad (\psi _j\;\text{beliebige Funktionen der}\;x^i) \hfill} \] (projektive Abänderungen des affinen Zusammenhangs) bestimmt. Die Auszeichnung eines dieser Zusammenhänge bedeutet dabei Auszeichnung eines bis auf ganze lineare Transformationen bestimmten invarianten affinen Normalparameters \(s\) (affine Bahnkurvengeometrie). Verf. definiert in der vorliegenden Arbeit eine projektive Bahnkurvengeometrie folgendermaßen: Auf den Bannkurven ist in invarianter Weise ein bis auf gebrochene lineare Transformationen bestimmter Parameter \(\pi \), der projektive Formalparameter, ausgezeichnet. Das geschieht beim Verf. durch die Differentialgleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(3)} \hfill \{\pi, s\}=-2M\varGamma _{jk}^0\acute x^j\,\acute x^k\qquad\bigl(\varGamma _{jk}^0=\varGamma _{kj}^0\bigr)\,; \hfill} \] dabei ist \(\{\pi, s\}\) das Symbol für die \textit{Schwarz}sche Ableitung von \(\pi \) nach \(s\) und \(M\) eine nicht verschwindende Konstante. Die \(\varGamma _{jk}^0\) sind die Komponenten eines gegebenen Tensors und ändern sich bei projektiver Abänderung der \(\varGamma _{jk}^i\) wie folgt: \[ \hat \varGamma _{jk}^0=\varGamma _{jk}^0-\frac{1}{M}\biggl\{\frac{1}{2}(\psi _{j, k}+\psi _{k, j})+\psi_j\psi_k \biggr\} \] (\(\psi _{j, k}\) kovariante Ableitung der \(\psi _j\) in bezug auf die \(\varGamma _{jk}^i\)). Mittels der Beziehung \[ x^0=-\frac{1}{2M}\log\frac{ds}{d\pi } \] führt Verf. nun eine Eichvariable \(x^0\) ein. Setzt man nun \[ \varPi _{jk}^\alpha =\varGamma _{jk}^\alpha,\;\;\varPi _{\beta 0}^\alpha =\varPi _{0\beta }^\alpha =M\delta _\beta ^\alpha \qquad(\alpha, \beta =0, 1,\dots, n), \] so lassen sich die Gleichungen (1) und (3) in \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(4)} \hfill \frac{d^2\,x^\alpha }{d\pi ^2}+\varPi _{\beta \gamma }^\alpha\frac{dx^\beta }{d\pi }\,\frac{dx^\gamma }{d\pi }=0\quad(\alpha, \beta, \gamma =0, 1,\dots, n) \hfill} \] zusammenfassen. Die projektive Bahnkurvengeometrie kann also aufgefaßt werden als Theorie der Differentialgleichungen (4) bei Transformationen der Gestalt \[ d\overline{x}^0=dx^0+\frac{1}{M}\psi _i(x^1,\dots, x^n)\,dx^i,\;\;\overline{x}^i=\overline{x}^i(x^1,\dots, x^n)\qquad(i=1,\dots, n). \] Diese Geometrie läßt sich dann und nur dann in einer \((n + 1)\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit deuten, wenn \(\psi _i\,dx^i\) ein vollständiges Differential ist. Dann aber nehmen die Transformationen die \textit{Veblen}sche Gestalt an, und \(x^0\) wird die \textit{Veblen}sche Eichvariable. Verf. erhält so eine Deutung der \textit{Veblen}schen projektiven Differentialgeometrie (vgl. z. B. \textit{Veblen}, Projektive Relativitätstheorie, 1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1505) innerhalb der Bahnkurvengeometrie. Verf. führt nun einen projektiven Krümmungstensor ein und untersucht die Beziehungen zum \textit{Weyl}schen Tensor. Auch die Methode von \textit{T. Y. Thomas} (Proc. nat. Acad. Sci. USA 11 (1925), 199-203, 588-589, 592-594; Bull. Amer. math. Soc. 31 (1925), 318-322; Math. Z. 25 (1926), 723-733; F. d. M. 51, 569 (JFM 51.0569.*)-570; 52, 732-733), der einen normalen Zusammenhang und einen projektiven Parameter \(p\) einführt, läßt sich auf die projektive Bahnkurvengeometrie des Verf. anwenden und führt auf den gleichen projektiven Krümmungstensor und außerdem auf eine Größe, die etwa der projektiven Kovariante der Theorie von \textit{T. Y. Thomas} (a. a. O.) entspricht. Das Problem der projektiven Äquivalenz läßt sich mit den üblichen Methoden erledigen. Zum Schluß geht Verf. noch auf die projektive Bahnkurventheorie im weiteren Sinne ein, in der die \(\varGamma _{jk}^i\), \(\varGamma _{jk}^0\) nicht nur von den \(x^i\), sondern auch von den \(\dfrac{dx^i}{ds}\) in homogener Weise abhängen.