Fuchsian groups and ergodic theory. (Q5923667)

\(\varOmega\) sei der Phasenraum eines dynamischen Systems. Die Strömung in \(\varOmega\) ist \textit{metrisch transitiv}, wenn jede meßbare Punktmenge in \(\varOmega\), die (bis auf eine Nullmenge) bei der Strömung invariant ist, eine Nullmenge oder Komplement einer Nullmenge in \(\varOmega\) ist. \textit{Hedlund} hat gezeigt, daß die Strömung im Phasenraum für Geodätische auf Flächen konstanter negativer Krümmung in zwei Fällen metrisch transitiv ist: (a) wenn der Fundamentalbereich ein reguläres \(NE\)-Polygon ist (Ann. Math., Princeton, (2) 35 (1934), 787-808; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 611), und (b) für die Modulgruppe (A metrically transitive group defined by the modular group, Amer. J. Math. 57 (1935), 668-678; F.~d.~M. 61\(_{\text{II}}\)). Die vorliegende Arbeit überträgt \textit{Hedlund}s Ergebnisse auf eine beliebige \textit{Fuchs}sche Gruppe erster Art. Für eine Gruppe zweiter Art wird gezeigt, daß fast alle Geodätischen, die von einem gegebenen Punkt der Fläche ausgehen, von den Trichtern der Fläche absorbiert werden. Für Flächen der ersten Art wird das Problem auf eine Betrachtung von Punktmengen auf dem Torus \(|\eta_1|=|\eta_2|=1\) zurückgeführt, wo \(\eta_1\), \(\eta_2\) komplexe Veränderliche bedeuten. \(A\) sei eine beliebige meßbare Punktmenge auf diesem Torus, die positives Maß hat und bei den Transformationen der Gruppe \(G\) invariant ist. Dann wird gezeigt, daß \(A\) das Maß des ganzen Torus besitzt. Zum Beweis dieser Tatsache bezeichne man mit \(U(\eta_1,\eta_2)\) die charakteristische Funktion der Komplementärmenge von \(A\) bezüglich des Torus und konstruiere die Funktion \(U(z,w)\) durch das \textit{Poisson}sche Doppelintegral \[ U(z,w)=\frac1{4\pi^2}\int\limits_{|\gamma|=1}\int\limits_{|\zeta|=1} U(\zeta,\gamma)\frac{1-z\bar z}{|\zeta-z|^2}\frac{1-w\overline w}{|\gamma-w|^2} |d\zeta||d\gamma|. \] \(U(z,w)\) ist für \(|z|<1\), \(|w|<1\) eine positive beschränkte harmonische Funktion von \(z\) und \(w\) und erfüllt die Funktionalgleichung \[ U(S(z),S(w))=U(z,w), \] wenn \(S\) eine beliebige Transformation von \(G\) ist. Verf. zeigt dann, daß die oben definierte Funktion \(U(z,w)\), wenn \(U(\eta_1,\eta_2)\) auf einer Menge von positivem Maß auf dem Torus verschwindet, identisch verschwinden muß, was das Verschwinden von \(U(\eta_1,\eta_2)\) bis auf eine Nullmenge zur Folge hat. Diese letzte Tatsache ist eine Verallgemeinerung eines Ergebnisses von \textit{W.~Seidel} (Proc. nat. Acad. Sci. USA 21 (1935), 475-478; F.~d.~M. 61\(_{\text{I}}\), 369) über beschränkte automorphe harmonische Funktionen.