On the lattice points on curves of genus 1. (Q5923754)

Sei \[ F(x, y) = a_0 x^3 + a_1 x^2 y + a_2 x y^2 + a_3 y^3 \] eine ganzrationalzahlige, irreduzible, binäre, kubische Form, und \(k \neq 0\) eine ganzrationale Zahl. Dann definiert \(F(x, y) = k\) ein algebraisches Gebilde vom Geschlecht 1 (elliptisches Gebilde), und zwar ein spezielles solches (absolute Invariante \(J = 0\)). Aus dem Thueschen Satz folgt, daß die Anzahl \(A(k)\) der ganzzahligen Lösungen \(x\), \(y\) (Gitterpunkte auf dem Gebilde) endlich ist. Frühere Untersuchungen des Verf. haben ergeben, daß \(A(k)\) nur dann groß sein kann, wenn die Anzahl der (gleichen oder verschiedenen) Primfaktoren von \(k\) groß ist; und nach \textit{Siegel} weiß man, daß \(\sum\limits_{h=1}^{k} A(h) = O \, (k^{\frac{2}{3}})\) ist. Verf. gibt hier asymptotische Aussagen über \(A(k)\) nach der anderen Richtung hin. Er beweist nämlich, daß \(A(k)\) für geeignet gewählte \(k\) jede gegebene Zahl \(t\) überschreitet, und daß es sogar unendlich viele \(k\) gibt, für die \(A(k) \geqq \root 4\of{\log \, k}\) ist. Dabei werden allerdings auch nicht-teilerfremde Lösungen \(x\), \(y\) in Betracht gezogen; eine entsprechende schärfere Aussage für teilerfremde Lösungen scheint tiefer zu liegen. Verf. entwickelt dann noch verwandte Resultate über elliptische Gebilde vom allgemeinen Typus (nicht notwendig \(J = 0\)). Insbesondere beweist er: Zu jedem rationalen \(J\) und jedem \(t\) gibt es ein elliptisches Gebilde mit der absoluten Invariante \(J\), definiert durch eine Gleichung \[ Ay^2 + Bx^3 + Cx + D = 0 \] mit ganzrationalen Koeffizienten, auf dem mindestens \(t\) Gitterpunkte liegen. Hiernach ist die Anzahl der Gitterpunkte (im Gegensatz zum System der rationalen Punkte) \textit{keine} birationale Invariante.