On the addition of residue classes. (Q5923757)

Verf. gibt einen einfachen Beweis für folgenden Satz: Sei \(p\) eine Primzahl; seien ferner \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_m\) \(m\) verschiedene Restklassen mod \(p\), \(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\) \(n\) verschiedene Restklassen mod \(p\). Mit \(\gamma_1,\gamma_2,\ldots, \gamma_l\) bezeichne man die verschiedenen Restklassen, die sich in der Form \(\alpha_i+\beta_j\) (\(1\leqq i\leqq m, 1\leqq j\leqq n\)) darstellen lassen. Dann ist \[ \begin{alignedat}{2}{2} &l\geqq m+n-1&,\quad &\text{falls } m+n-1\leqq p \\ &l = p &,\quad &\text{falls } m+n-1\geqq p. \end{alignedat} \] Dieser Satz kann als ``mod \(p\)-Analogon'' einer bekannten Vermutung über die Dichte der Summenfolge zweier Folgen positiver Zahlen angesprochen werden, welche man an ein Resultat von \textit{A. Khintchine} geknüpft hat [Zur additiven Zahlentheorie, Rec. Math. Moscou 39, No. 3, 27--34 (1932; JFM 58.0159.07; Zbl 0006.15503)].