Sur les transformations des ensembles par les fonctions de Baire. (Q5923791)

Ist \(E\) eine gegebene lineare Menge, so bezeichne \(\varPhi_\alpha (E)\) die Familie aller Mengen \(f (E)\), wobei \(f (x)\) eine Funktion \(\alpha\)-ter Klasse einer reellen Veränderlichen sei. Selbstverständlich gibt es Mengen \(E\) (z.B. die Intervalle), für welche \(\varPhi_0 (E) \not = \varPhi_1 (E)\) ist. Dagegen ist es schwierig, die Existenz einer linearen Menge \(E\) nachzuweisen, für welche \(\varPhi_1 (E) \not = \varPhi_2 (E)\) ist. Ein früheres Resultat des Verf. (Fundamenta Math. 15 (1930), 195-198; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 233) zeigt, daß eine solche Menge \(E\) keinesfalls eine analytische Menge sein kann. Der gewünschte Existenzbeweis gelingt nun hier dem Verf. mittels der Kontinuumhypothese, und zwar als unmittelbare Folge der beiden (von dieser Hypothese unabhängigen), auch an sich interessanten Hilfssätze: 1. Es existiert eine Funktion \(\varphi (x)\) der zweiten Klasse mit lauter verschiedenen Werten, die sich von jeder Funktion \(f (x)\) von höchstens erster Klasse auf einer Menge von positivem Maß unterscheidet. 2. Ist \(F\) eine Familie von der Mächtigkeit \(\aleph_1\) von meßbaren Funktionen und \(\varphi (x)\) eine Funktion mit lauter verschiedenen Werten, die sich von jeder Funktion \(f (x) \) aus \(F\) auf einer Menge von positivem Maß unterscheidet, dann existiert eine lineare Menge \(E\), so daß \(\varphi (E)\neq f (E)\) für jede Funktion \(f (x)\) aus \(F\) ist.