Sur l'intégration des différentielles totales. (Q5923798)

Es seien \(P, Q, R\) gegebene Funktionen von \( x, y, z\), die mindestens für die Punkte einer durch \(x = f (t), y = g (t), z = h(t)\) gegebenen Raumkurve \(C\) definiert sind. Untersucht wird die Existenz des Integrals (im \textit{Riemann}schen Sinne) \[ \int\limits^C (P\,dx + Q\,dy + R\,dz). \] Soll das Integral für alle stetigen Funktionen \(P, Q, R\) existieren, so lautet die notwendige und (was schon bekannt war) hinreichende Bedingung, daß \(f, g, h\) von beschränkter Schwankung sein müssen. -- Soll das Integral für alle Funktionen \(P, Q, R \) existieren, die eine \textit{Lipschitz}-Bedingung erfüllen, und für die außerdem ein totales Differential \(Pdx + Qdy + Rdz\) im Sinne von \textit{Stolz} existiert, so lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für \(C\), daß die ``quadratische Länge'' von \(C\) den Wert 0 haben muß. Die Definition der quadratischen Länge ergibt sich dabei aus der üblichen Längendefinition, indem man in dieser die Sehnen des approximierenden Polygonzuges durch ihre Quadrate ersetzt.