Sur les nombres dérivés. (Q5923806)

Die Arbeit weist die Existenz von stetigen Funktionen \(\varPhi (x)\) nach, die eine Art ``universelle Primitivfunktionen'' für alle meßbaren Funktionen \(\varphi (x)\) darstellen. Dies ist der Inhalt des Satzes: Es sei eine nullstrebige Folge \(\{h_n \not = 0\}\) gegeben. Dann existiert im Intervall \((0,1)\) eine stetige Funktion \(\varPhi (x)\) von der Beschaffenheit, daß sich zu jeder in \((0,1) \) meßbaren Funktion \(\varphi (x)\) eine Teilfolge \(\{h_{n_k}\}\) von \(\{h_n\}\) angeben läßt, für die fast überall in \((0,1) \) die Beziehung \(\lim\limits_{k\to \infty} \dfrac {\varPhi (x+ h_{n_k})- \varPhi (x)} {h_{n_k}} = \varphi (x)\) stattfindet. Im zweiten Teil der Arbeit wird noch bewiesen, daß dieser Satz auch im (wie üblich metrisierten) Raume aller stetigen Funktionen \(\varphi\) gilt, jedoch mit einer Ausnahme menge, die von der ersten Kategorie ist.