Differentiation of sequences. (Q5923807)

Die Funktionenfolge \(\{f_n(x)\}\) heißt normal bzw. uniform in einem Punkte \(x_0\) des Definitionsintervalls \(\langle a, b\rangle\), wenn sich zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta = \delta(\varepsilon) > 0\) und ein \(N = N(\varepsilon) > 0\) so angeben läßt, daß \[ |f_n(x) - f_n(x_0)| < \varepsilon \tag{1} \] für \(|x - x_0| < \delta\) und \(m > N\) bzw. \[ | f_m (x) - f_m (x_0) - f_n (x) + f_n(x_0)| < \varepsilon \tag{2} \] für \(|x - x_0|< \delta\) und \(m > N\), \(n > N\) gilt. \(\{f_n(x)\}\) heißt fast normal bzw. fast uniform in \(x_0\), wenn sich zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta = \delta(\varepsilon) > 0\) so angeben läßt, daß, wenn \(|x- x_0 < \delta\) ist, (1) für fast alle \(n\) bzw. (2) für fast alle \(m\) und \(n\) gilt. Analog zu einem von \textit{Hahn} und \textit{Carathéodory} gegebenen Satz werden nun Sätze folgender Art bewiesen: Wenn die Funktionenfolge \(\{f_n(x)\}\) auf \(\langle a, b\rangle\) gegen \(f(x)\) konvergiert, ist sie fast uniform in jedem Punkte von \(\langle a, b\rangle\); sie konvergiert gleichmäßig auf \(\langle a, b\rangle\) dann und nur dann, wenn sie in jedem Punkte von \(\langle a, b\rangle\) uniform ist; die Grenzfunktion \(f(x)\) ist in \(x_0\) dann und nur dann stetig, wenn \(\{f_n(x)\}\) fast normal in \(x_0\) ist. Verf. beweist dann mehrere neue Bedingungen für die Konvergenz der abgeleiteten Funktionenfolge \(\{f_n^\prime(x)\}\) einer gegebenen Funktionenfolge \(\{f_n(x)\}\), z. B: \(\{f_n(x)\}\) konvergiere auf \(\langle a, b\rangle\) gegen \(f(x)\); \(f_n^\prime(x)\) existiere für jedes \(n\) auf \(\langle a, b\rangle\) und sei über \(\langle a, b\rangle\) summierbar; \(\{f_n(x)\}\) konvergiere im Mittel auf \(\langle a, b\rangle\), d. h. für \(m\) und \(n\to\infty\) strebe \[ \int\limits_a^b |f_m^\prime(x) - f_n^\prime(x)| \, dx \to 0. \] Dafür, daß auch \(f^\prime(x)\) existiert, auf \(\langle a, b\rangle\) stetig ist und daß \(\{f_n^\prime(x)\}\) auf \(\langle a, b\rangle\) gegen \(f^\prime(x)\) strebt, ist notwendig und hinreichend, daß \(\{f_n^\prime(x)\}\) in jedem Punkte von \(\langle a, b\rangle\) fast normal ist.