Sur l'approximation des fonctions convexes d'ordre supérieur. (Q5923826)

Es sei \(f(x)\) im Intervall \(\langle 0,1\rangle\) definiert und \(P_n(x,f)=\sum\limits_{i=0}^n \left(\dfrac in\right)\dbinom ni x^i(1-x)^{n-i}\) das zu \(f\) gehörige \textit{Bernstein}-Polynom \(n\)-ten Grades. Im Anschluß an die Bezeichnungsweise seiner früheren Arbeiten (Thèse, Paris, 1933; Mathematica Cluj 8 (1934), 1-85. F. d. M. \(60_{\text I}\), 196) beweist dann Verf., daß die \(k\)-te Schranke und die \(k\)-te Variation von \(P_n(x,f)\) diejenige von \(f\) nicht übertreffen. Der Grad der Annäherung von \(P_n(x, f)\) an \(f\) erweist sich (in Verbesserung früherer Ergebnisse) als \(\omega\left(\dfrac1{\sqrt n}\right)\), wobei \(\omega(\delta)\) den Schwankungsmodul von \(f\) bedeutet.