Sur une classe de représentations continues. (Q5923832)

Verf. definiert folgende Klasse fast analytischer Funktionen \(f(z)\): (1) \(f(z)\) ist eindeutig und stetig in einem Bereich \(B\) der \(z\)-Ebene. (2) Mit Ausnahme einer abzählbaren und abgeschlossenen Menge von Punkten \(z_0\) vermittelt \(w = f (z)\) eine eineindeutige Abbildung zwischen den hinreichend kleinen Umgebungen der Punkte \(z_0\) und \(w_0 = f(z_0)\). Wenn \(z\) in einer solchen Umgebung einen Kreis im positiven Sinne beschreibt, so beschreibt \(w = f (z)\) eine einfach geschlossene Kurve im positiven Sinne. (3) Es existieren zwei reelle Funktionen \(p(z)\geqq 1\) und \(\theta(z)\), so daß \(p(z)\) in \(B\) und \(\theta(z)\) überall dort stetig ist, wo \(p(z)\neq 1\) ist. Konstruiert man eine Ellipse \(E\) in der \(z\)-Ebene mit den Achsen \(a\), \(b\) und dem Mittelpunkt \(z_0\), bei der der Winkel zwischen der großen Achse und der reellen Achse gleich \(\theta(z)\) und \(1 < \dfrac ab = p(z)\) ist, so gilt \[ \lim_{a\to 0}\left|\frac{f(z_1)-f(z_0)}{f(z_2)-f(z_0)}\right|=1, \] wobei \(z_1\), \(z_2\) Punkte von \(E\) sind, für die \(|f(z) - f(z_0)|\) sein Maximum bzw. Minimum erreicht, \(p(z)\) und \(\theta(z)\) heißen die charakteristischen Funktionen zu der fast analytischen Funktion \(f(z)\). Nimmt man noch die Bedingung, daß \(p(z)\) beschränkt sein soll, hinzu, so erhält man fast analytische Funktionen, die den von \textit{Grötzsch} (Ber. Leipzig 80 (1928), 503-507; F. d. M. 54, 378 (JFM 54.0378.*)) behandelten Funktionen sehr ähneln. Verf. überträgt eine Reihe bekannter Theoreme, die für analytische Funktionen gelten, auf diese Klasse fast analytischer Funktionen.