The zeros of the Riemann zeta-function. (Q5923836)

Es wird gezeigt, daß für \(\dfrac4\pi\leqq t\leqq 390\) alle 195 Nullstellen von \(\zeta(\sigma+it)\) den Realteil \(\frac12\) haben. Die reelle Funktion \[ f(\tau)=f\left(\frac{t}{2\pi}\right)=e^{i\vartheta}\zeta(\tfrac12+it) \qquad \left(\vartheta=-\log t\cdot\frac t2+\mathfrak I\log\varGamma(\tfrac14+\tfrac12it)\right) \] läßt sich angenähert durch \[ 2\sum_{\nu=1}^m\frac{\cos2\pi(k-\tau\log\nu)}{\sqrt\nu}+g(\tau) \] darstellen, wo \(2\pi k=\vartheta\) und \[ g(\tau)\tau^{\frac14}\cos2\pi\sqrt\tau=(-1)^{m-1}\cos2\pi \left\{\tau-(2m+1)\sqrt{\tau-\frac1{16}}\right\} \] ist. Ist \(\tau_n\) derjenige Wert, für den \(k=\dfrac n2-1\) ist, so legt die angenäherte Darstellung von \(f\) die Vermutung nahe, daß \(f(\tau_n)\) und \(f(\tau_{n+1})\) entgegengesetzte Zeichen haben (Gramsches Gesetz). Diese Vermutung erweist sich in praxi bis auf geringe Ausnahmen als richtig. So ergibt sich eine untere Grenze für die Anzahl der Nullstellen auf \(\sigma=\frac12\). Die Nullstellenformel liefert, sofern das Restglied sich angenähert berechnen läßt, eine obere Grenze für diese Zahl-Stimmen beide Grenzen überein, so kann es nur auf \(\sigma=\frac12\) Nullstellen geben. Dieses Restglied \(\dfrac{\operatorname{arg}\zeta(\tfrac12+iT)}{\pi}\) ist absolut kleiner \(\dfrac\pi2\), wenn \(\operatorname{arg}\zeta\) nicht verschwindet für \(\frac12\leqq\sigma\leqq2\), \(t=T\). Solche \(T\) gibt es. Die angenäherte Darstellung von \(f\) folgt aus der approximativen Funktionalgleichung, wobei statt der \(O\)-Glieder asymptotische Reihen stehen. Verf. beweist außerdem, daß das \textit{Gram}sche Gesetz für große \(n\) immer wieder falsch sein muß. Zum Schluß wird mit erfreulicher Klarheit festgestellt, daß die \textit{Riemann}sche Vermutung durch das Resultat dieser Arbeit keineswegs an Wahrscheinlichkeit gewonnen hat.