Sur quelques propriétés des fonctions univalentes. (Q5923848)

Verf. teilt einige Ergebnisse seiner Untersuchungen über die Ränderzuordnung bei der konformen Abbildung eines einfach zusammenhängenden Bereiches auf einen Kreis mit. \(t\) sei ein Punkt auf einer einfach geschlossenen analytischen Kurve \(C\); unter \(\alpha(t)\) verstehe man den Winkel der Tangente in \(t\) an \(C\) mit der reellen Achse; \(m(C)\) bzw. \(M(C)\) seien die untere bzw. obere Grenze von \(\alpha(t)\), wenn \(t\) die Kurve \(C\) im positiven Sinne durchläuft; dabei ist der Anfangswert zwischen 0 und \(\pi\) zu wählen. Verf. definiert nun folgende Klasse \(R(m,M)\) von einfach zusammenhängenden Bereichen \(D\): \(D\) gehört zu \(R(m,M)\), wenn zu jedem abgeschlossenen Bereich \(\overline D_1\subset D\) eine einfach geschlossene analytische Kurve \(C\) existiert, so daß das von \(C\) begrenzte Gebiet \(D_1\) enthält und \(m\leqq m(C)\), \(M\geqq M(C)\) gilt. Es werden Theoreme über die Ränderzuordnung bei der konformen Abbildung einfach zusammenhängender Bereiche aus der Klasse \(R(m,\infty\)) mit \(m>-\infty\) bzw. \(R(m,M)\) mit \(m>-\infty\) und \(M<\infty\) angegeben, aus denen das Theorem~2 hervorgehoben sei: Wenn \(D\) mit dem Rand \(\varGamma\) zur Klasse \(R(m,M)\) mit \(m>-\infty\), \(M<\infty\) gehört und den Kreis \(|z|<1\) enthält, so entspricht bei der konformen Abbildung \(w=f(z)\) mit \(f(0)=0\) von \(D\) auf \(|w|<1\) der Menge \(E\) von \(\varGamma\), deren lineares Maß kleiner als \(\varepsilon\) ist, eine Menge auf \(|w|=1\), deren Maß kleiner als \(2\pi\varepsilon^\delta\) ist, wobei \(\delta>0\) nur von \(m\) und \(M\) abhängt. Es werden dann entsprechende Theoreme für Gebiete, die von rektifizierbaren Kurven begrenzt werden, aufgestellt.