Sur la représentation conforme. (Q5923849)

Verf. zeigen, daß einige Probleme der Ränderzuordnung bei der konformen Abbildung \(w=f(z)\) des Kreises \(|z|<1\) auf einen einfach zusammenhängenden schlichten Bereich \(D\), der von einer rektifizierbaren Kurve begrenzt wird, mit der Frage zusammenhängen, ob die Funktion \(\log|f'(z)|\) im Kreis \(|z|<1\) durch das \textit{Poisson}sche Integral dargestellt werden kann. Unter \(K_0\) wird die Klasse der durch rektifizierbare Kurven begrenzten, einfach zusammenhängenden Bereiche \(D\) verstanden, für die \(\log|f'(z)|\) durch das \textit{Poisson}sche Integral in \(|z|<1\) darstellbar ist, wobei \(f(z)\) mit \(f(0)=0\) die konforme Abbildung des Kreises \(|z|<1\) auf \(D\) liefert. \(K_0\) enthält unter anderem die durch rektifizierbare Kurven begrenzten Bereiche, die der Klasse \(R(m,\infty)\) oder \(R(-\infty,M)\), die von \textit{Lavrentieff} (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit) definiert worden sind, angehören. Verf. betrachten nun die von \textit{Julia} eingeführten extremalen Polygone \(J_n(w)=w+c_2w^2+\cdots+c_nw^n\), die dem Integral \[ \int\limits_\varGamma|P_n'(w)|\,dw\qquad\text{mit}\qquad P_n(w)=w+a_2w^2+\cdots+a_nw^n, \] erstreckt über den Rand \(\varGamma\) von \(D\), den Minimalwert erteilen, und stellen folgendes Theorem auf: Damit die Folge der Polynome \(J_n(w)\) im Innern von \(D\) gegen die Funktion \(\varphi(w)\) mit \(\varphi(0)=0\), \(\varphi'(0)=1\) konvergiert, die \(D\) konform auf den Kreis \(|z|<1\) abbildet, ist notwendig und hinreichend, daß \(D\) zur Klasse \(K_0\) gehört.