The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function. (Q5923864)

Es seien \(\alpha_1,\dots,\alpha_p,\varrho_1,\dots,\varrho_q\) positive Zahlen, und es sei \[ f(t)=\left\{\prod_{r=1}^p\varGamma(\beta_r+\alpha_rt)\right\} \left\{\prod_{r=1}^q\varGamma(\mu_r+\varrho_rt)\right\}^{-1},\quad k=1+\sum\limits_{r=1}^{q}\varrho_r-\sum\limits_{r=1}^{p}\alpha_r. \] Verf. gibt eine Aufzählung seiner Resultate über das asymptotische Verhalten der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion \[ {}_pF_q(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f(n)}{\varGamma(n+1)}z^n. \] Zu jedem gegebenen reellen \(\zeta_0\) kann Verf. ein \(\zeta_0\) enthaltendes Intervall für \(\arg z\) angeben, in dem jedesmal eine bestimmte asymptotische Entwicklung \textit{gleichmäßig} in \(\arg z\) gilt. Zum Teil (für \(k > 2\)) sind die Resultate schon von \textit{Watson} erhalten worden (Trans. Cambridge phil. Soc. 22 (1913), 15-37; F. d. M. 44, 476 (JFM 44.0476.*)). Besonderes Interesse beanspruchen die Entwicklungen, welche in der Nähe einer ``Wechselrichtung'' gültig sind (das sind -ungenau ausgedrückt -- solche Geraden \(\arg z=\) const, die Winkelräume begrenzen, in denen verschiedene asymptotische Entwicklungen gültig sind). Für \(k = 2\) ist \(\arg z =\pi\) die einzige Wechselrichtung. Für \(0 < k < 2\) gibt es zwei solche Wechselrichtungen, und zwar \(\arg z = \pm\frac12\pi k\). Verf. gibt auch asymptotische Entwicklungen, welche in der Nähe dieser Wechselrichtungen gültig sind.