On the momentum problem for distribution functions in more than one dimension. (Q5923886)

Durch Verallgemeinerung der von \textit{M. Riesz} (Arkiv för Mat. 17 (1923), Nr. 16; F.~d.~M. 49, 195) beim eindimensionalen \textit{Hamburger}schen Momentenproblem benutzten Methode wird im mehrdimensionalen Fall der Satz bewiesen: Für die Existenz einer Belegungsfunktion, d. h. einer monotonen, absolut additiven Mengenfunktion \(\varphi(E)\) mit \(0 \leqq \varphi(E) \leqq 1\) und \(\varphi(S)=1\) (\(S\) = ganze \((x,y)\)-Ebene), mit den Momenten \(c_{nm}\): \[ \iint\limits_{S} x^n \, y^m \, d_{xy} \varphi (E) = c_{nm} \qquad (n,m=0,1, \ldots ;\, c_{00}=1), \] ist notwendig und hinreichend, daß die Matrix \(\|c_{nm}\|\) nichtnegativ ist, d. h., daß für jedes Polynom \[ P(x,y) = \sum_{n=0}^{N} \sum_{m=0}^{M}a_{nm} \, x_n \, y_m, \] das \(\geqq 0\) für alle \((x,y)\) ist, die Zahl \[ P_c = \sum_{n=0}^{N} \sum_{m=0}^{M} a_{nm} c_{nm} \geqq 0 \] ausfällt.