Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires enchainées. (Q5923922)

\(u_1, u_2,\ldots\) sei eine Folge verketteter zufälliger Variablen, und es sei (1) jedes \(u_\nu\) beschränkt; (2) die Erwartung für \(u_n\) nach dem Ergebnis \(u_1,\ldots, u_{n-1}\) sei \(E_{n-1}(u_n)\), und zwar wird vorausgesetzt, daß dies -- unabhängig von dem Vorhergehenden -- verschwindet. Entsprechend sei \(\mu_n^2=E_{n-1}(u_n^2)\), \(S_n=\sum\limits_1^n u_\nu\), \(\sigma^2_n=\sum\limits_1^n \mu_\nu^2\). Dann wird bewiesen: Die Reihen \(u_1+ u_2 + \cdots\) und \(\mu_1^2+\mu_2^2+\cdots\) sind entweder beide konvergent oder beide divergent bis auf Fälle der Wahrscheinlichkeit 0. -- Wird das durch die Folge der \(u\) dargestellte Spiel abgebrochen, sobald \(\sigma_n\) den Wert \(t\) überschreitet, so wird unter anderem ferner gezeigt: Der dann realisierte Gewinn hat für große \(t\) asymptotisch eine \textit{Gauß}sche Verteilung.