Die Abhängigkeit der Vertauschungsaxiome und das Hessenbergsche Ergebnis. Geometrische Axiomatik als Gruppentheorie. (Q5923941)

Die vorliegenden drei Arbeiten knüpfen an die von \textit{H. Liebmann} in seinem Buch ``Synthetische Geometrie'' (1934; JFM 60.0491.*) gegebene Axiomatik der projektiven Geometrie an. Dieses Axiomensystem enthält neben den üblichen Axiomen der Verknüpfung und zwei Axiomen zur Ausschaltung der finiten Geometrien die folgenden beiden ``Vertauschungsaxiome'': Bilden die sechs Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 einer Ebene eine \textit{Pascal}-Anordnung, so ist das auch noch der Fall bei der Vertauschung zweier Punkte mit Nummern gleicher Parität (Vertauschungsaxiom \(V_1\)) und bei der Vertauschung zweier Punkte mit Nummern ungleicher Parität (Vertrauschungsaxiom \(V_2\)). Die unter \(V_1\) fallenden Vertauschungen \[ 1 \longleftrightarrow 3, \quad 3 \longleftrightarrow 5, \quad 1 \longleftrightarrow 5, \quad 4 \longleftrightarrow 6, \quad 2 \longleftrightarrow 6, \quad 2 \longleftrightarrow 4 \] nennt Verf. die ``kleinen Vertauschungen'' \(\varPhi_1^{(1)}\), \dots, \(\varPhi_1^{(6)}\). Der Kalkül dieser Vertauschungen, den Verf. den \(\varPhi_1\)-Vertauschungskalkül nennt, wird in der ersten der vorliegenden Arbeiten eingehend untersucht. Bei den unter \(V_2\) fallenden Vertauschungen handelt es sich, in der Bezeichnung des Verf., um die folgenden neun ``großen Vertauschungen'': \[ \begin{gathered} \varPsi_1^{(1)} = 1 \longleftrightarrow 2, \quad \varPsi_1^{(2)} = 2 \longleftrightarrow 3, \quad \varPsi_1^{(3)} = 3 \longleftrightarrow 4, \\ \varPsi_1^{(4)} = 3 \longleftrightarrow 6, \quad \varPsi_1^{(5)} = 1 \longleftrightarrow 4, \quad \varPsi_1^{(6)} = 2 \longleftrightarrow 5, \\ \varPsi_1^{(7)} = 4 \longleftrightarrow 5, \quad \varPsi_1^{(8)} = 5 \longleftrightarrow 6, \quad \varPsi_1^{(9)} = 6 \longleftrightarrow 1. \end{gathered} \] Die Behandlung der Rechenregeln dieser Vertauschungen, der \(\varPsi_1\)-Vertauschungskalkül, bildet den Gegenstand der zweiten Arbeit. In der dritten Arbeit wird zunächst die Äquivalenz des Vertauschungsaxioms \(V_1\) mit dem \textit{Desargues}schen Satz und die Äquivalenz des Vertauschungsaxioms \(V_2\) mit dem \textit{Pappus-Pascal}schen Satz bewiesen. Ferner zeigt Verf., daß jede kleine Vertauschung als Produkt von drei großen Vertauschungen dargestellt werden kann, daß also das Vertauschungsaxiom \(V_1\) aus dem Vertauschungsaxiom \(V_2\) folgt. Damit erhält er unter Benutzung der obigen Äquivalenzsätze von neuem den bekannten \textit{Hessenberg}schen Satz (Math. Ann. 61 (1905), 161-172; F. d. M. 36, 583 (JFM 36.0583.*)), der besagt, daß der \textit{Desargues}sche Satz eine Folge des \textit{Pappus-Pascal}schen ist.