The fundamental group of a group manifold. (Q5923945)

Das Endresultat des Verf. ist der Satz: Die Fundamentalgruppe einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeitsgruppe besitzt höchstens \(n\) freie Erzeugende. Von diesem Satz hat \textit{W. Hurewicz} einen sehr einfachen Beweis erbracht (Beiträge zur Topologie der Deformationen. IV: Asphärische Räume, Proc. Acad. Amsterdam 39 (1936), 215-224; F. d. M 62); sogar in der allgemeineren Form: In einer zusammenhängenden, im kleinen zusammenhängenden separablen Gruppe erfüllen die \(i\)-ten (rationalen) \textit{Betti}schen Zahlen die Ungleichheiten \(p_i\geqq \begin{pmatrix} p_1\\ i\end{pmatrix}\). Trotzdem ist die Arbeit des Verf. methodisch außerordentlich interessant. (1) Verf. zeigt, daß man den Überlagerungsraum eines Polyeders mit abelscher Fundamentalgruppe von \(m\) freien Erzeugenden so ``abschließen'' kann, daß die idealen Elemente eine \((m- 1)\)-dimensionale Sphäre \(S^{m-1}\) bilden. Die Abschließung geschieht so, daß die Gitterpunkte des Überlagerungsraumes denen des \(m\)-dimensionalen euklidischen Raumes \(E^m\) zugeordnet werden, und daß der Abschließung des \(E^m\) durch eine ideale \(S^{m-1}\) in leicht vorstellbarer Weise eine Abschließung des Überlagerungsraumes des Polyeders zugeordnet wird. Ist das Polyeder kompakt, so wird diese Abschließung auch kompakt. (2) Verf. betrachtet weiter eine Abbildung eines \(n\)-dimensionalen Torus auf das \(m\)-dimensionale Polyeder \((n < m)\), bei der die \(n\) Erzeugenden der Fundamentalgruppe des Torus bzw. in die ersten \(n\) Erzeugenden der Fundamentalgruppe des Polyeders übergehen. Er setzt die Abbildung fort zu einer Abbildung der Überlagerungsräume und ihrer Abschließungen und beweist, daß die Dimension der Bildmenge \(\geqq n\) ist. (3) Ist das Polyeder eine Mannigfaltigkeitsgruppe, so gehe man von folgender Abbildung aus: Man ordne den \(n\) erzeugenden Kreisen des Torus Wege durch die Identität zu, die den ersten \(n\) Elementen der Fundamentalgruppe der Gruppe entsprechen. Diese Abbildung erweitere man zu einer Abbildung des ganzen Torus in die Gruppe, indem man in naheliegender Weise die Gruppenoperation verwendet. Dann bekommt man eine Abbildung, die nach \textit{H. Hopf} (Math. Ann. 102 (1929), 562-623; JFM 55.0965.*) unwesentlich in dem Sinne sein muß, daß sie sich durch eine homotope ersetzen läßt, deren Bild nirgends dicht liegt. Das führt aber zu einem Widerspruch gegen (2). (4) Ähnlich ergibt sich: Besitzt die Gruppe \(n\) unabhängige geschlossene Wege (nach (3) die Maximalzahl), so ist sie kompakt. (Daraus folgt übrigens, daß sie die Torusgruppe ist.)