Simply connected sets. (Q5923951)

Die Punkte \(A\) und \(B\) einer Menge \(M\) werden durch eine Menge \(L\) in \(M\) ``getrennt'', wenn \(M- M \cdot L\) sich als Summe zweier disjunkter Mengen darstellen läßt, von welchen die eine \(A\), die andere \(B\) enthält; sie werden ``schwach getrennt'' durch \(L\), wenn jede zusammenhängende und in \(M\) abgeschlossene Teilmenge von \(M\), die \(A\) und \(B\) enthält, einen Punkt mit \(L\) gemeinsam hat. Die Menge \(M\) heißt ``simply connected'', wenn es für jedes Punktepaar \(A, B\) von \(M\) und jede in \(M\) abgeschlossene Teilmenge \(L\) von \(M\), die \(A\) und \(B\) trennt, eine \textit{zusammenhängende} Teilmenge von \(L\) gibt, die \(A\) und \(B\) trennt; \(M\) heißt ``schwach einfach zusammenhängend'', wenn an die Stelle der ``trennenden'' Teilmengen ``schwach trennende'' Teilmengen treten. Es werden Bedingungen dafür aufgestellt, daß Mengen diese Eigenschaft der ``simply connectedness'' oder des ``schwachen einfachen Zusammenhangs'' haben, weitere Eigenschaften solcher Mengen untersucht und Folgerungen aus der Eigenschaft der ``simply connectedness'' bzw. des ``schwachen einfachen Zusammenhangs'' gezogen. Bekannte Sätze werden unter diesen Gesichtspunkten zusammengestellt, neue bewiesen, so vor allem Sätze über die Existenz und die Beschaffenheit trennender Teilmengen.