Sur la courbure des surfaces. (Q5924002)

Ein metrischer, kompakter, konvexer Raum (konvex im Sinne von \textit{Menger}: Zu je zwei Punkten \(p \neq r\) gibt es einen dritten \(q \neq p,\, \neq r\) derart, daß die Entfernungen die Gleichung \(pr = pq + qr\) erfüllen) habe in jedem Punkte \(p\) eine Flächenkrümmung \(k(p)\) d.h. zu jedem \(\varepsilon >0\) gebe es ein \(\delta (\varepsilon, p) >0\) derart, daß jedes Quadrupel von Punken, die um weniger als \(\delta\) von \(p\) entfernt sind, sich entfernungstreu abbilden läßt auf ein Quadrupel von Punkten einer Kugelfläche, deren \textit{Gauß}sche Krümmung sich von \(k(p)\) um weniger als \(\varepsilon\) unterscheidet (Entfernungen auf der Kugel längs größter Kreise gemessen). Dann ist der Raum eine ``\textit{Gauß}sche Fläche'', d. h. im kleinen so durch zwei Parameter darstellbar, daß die Entfernung mit der geodätischen Entfernung einer quadratischen Differentialmetrik übereinstimmt.